Lấy một điểm M tùy ý Chứng minh rằng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}=3\overrightarrow{\text{MG}}$.

Lời giải:

a) Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ = $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$

I là trung điểm đoạn thẳng AB nên $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Khi đó: $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ = $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$ = 2$\overrightarrow{\text{MI}}$.

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) Với điểm M bất kì ta có:

$\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ + $\overrightarrow{\text{MC}}$ = $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}\text{}$ = 3$\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}\text{}$.

G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{\text{GA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}\text{}$ = $\overrightarrow{0}$.

Khi đó $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ + $\overrightarrow{\text{MC}}$= 3$\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$.

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}=3\overrightarrow{\text{MG}}$.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 96 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{AC}}=3\overrightarrow{\text{AG}}$. ....

• Bài 2 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. ....

• Bài 4 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3\overrightarrow{\text{KA}}+2\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}$. ....

• Bài 5 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. ....

• Bài 6 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Máy bay A với vận tốc $\overrightarrow{\text{a}}$, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{\text{b}}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{\text{a}}$ của máy bay A. ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---