Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 5 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{\text{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{\text{CE}}$; $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{\text{EA}}$.

Suy ra $\overrightarrow{\text{MN}}$ + $\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{AC}}$ + $\overrightarrow{\text{CE}}$ + $\overrightarrow{\text{EA}}$) = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{AE}}$ + $\overrightarrow{\text{EA}}$) = $\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{MN}}$ + $\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\overrightarrow{0}$

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ta có: $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Ta lại có:

$\overrightarrow{\text{MN}}$ = $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$; $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$; $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\overrightarrow{\text{RG}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$

Suy ra $\overrightarrow{\text{MN}}$ + $\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RG}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$

= $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{RG}}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Mà $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ = $\overrightarrow{0}$ ⇒ – ( $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$) = $\overrightarrow{0}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{RG}}$= $\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác NQS.

Như vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 96 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{AC}}=3\overrightarrow{\text{AG}}$. ....

• Bài 2 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. ....

• Bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$. ....

• Bài 4 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3\overrightarrow{\text{KA}}+2\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}$. ....

• Bài 6 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Máy bay A với vận tốc $\overrightarrow{\text{a}}$, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{\text{b}}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{\text{a}}$ của máy bay A. ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---