Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.29 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

$y=2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)$

với x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Lời giải:

a) Vì $-1\le \sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le 1$  nên $-\mathrm{2,5}\le \mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le \mathrm{2,5}$  và do đó ta có $2-\mathrm{2,5}\le 2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le 2+\mathrm{2,5}$

hay $-\mathrm{0,5}\le 2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le \mathrm{4,5}\forall x\in ℝ$ .

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=1$ $\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{1}{2}+k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Do x ≥ 0 nên $x=\frac{1}{2}+k\left(k\in \mathbb{N}\right)$ .

Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm $\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2}\mathrm{,...}$  phút.

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=-1$

$\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Do x ≥ 0 nên $x=k\left(k\in \mathbb{N}\right)$ .

Vậy gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3, ... phút.

b) Gầu cách mặt nước 2 m khi $2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=2$

$\iff \sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=0$

$\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Do x ≥ 0 nên $x=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\left(k\in \mathbb{N}\right)$ .

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm $x=\frac{1}{4}$  phút.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản hay khác:

• Bài 1.25 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau: a) $2\sin \left(\frac{x}{3}+15°\right)+\sqrt{2}=0$ ; ....

• Bài 1.26 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau: a) sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0; ....

• Bài 1.27 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau: a) (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0; ....

• Bài 1.28 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau: ....

• Bài 1.30 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1

• SBT Toán 11 Bài 5: Dãy số

• SBT Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng

• SBT Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---