Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. G là giao điểm

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 84 trang 93 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

a) Chứng minh: GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để EG là tia phân giác của góc DEM.

Lời giải:

a)• Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$ .

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = $\frac{1}{2}$ AB.

Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = $\frac{1}{2}$ AC.

Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD.

Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.

Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng)

Xét ∆AEG và ∆ADG có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{EAG}=\widehat{DAG}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ),

AG là cạnh chung

Do đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$ (hai góc tương ứng).

Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.

• Ta có $\widehat{BGM}=\widehat{AGD},\widehat{CGM}=\widehat{AGE}$(các cặp góc đối đỉnh)

Mà $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$

Nên $\widehat{BGM}=\widehat{CGM}$

Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.

• Xét ∆AME và ∆AMD có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{E\text{A}M}=\widehat{DAM}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ),

AM là cạnh chung,

Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AME}=\widehat{AMD}$ (hai góc tương ứng)

Nên MA là tia phân giác của góc EMD.

Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.

b) • Xét ∆ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{CAB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$(1)

Ta có AE = AD (chứng minh câu a)

Nên tam giác AED cân tại A

Suy ra $\widehat{AE\text{D}}=\widehat{ADE}$

Xét ∆ADE có $\widehat{ADE}+\widehat{AE\text{D}}+\widehat{DA\text{E}}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{AE\text{D}}=\widehat{ADE}$ nên $\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AED}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Do đó ED // BC.

Nên $\widehat{DEC}=\widehat{ECM}$ (hai góc so le trong)

• Để EG là tia phân giác của góc DEM thì $\widehat{DEC}=\widehat{CEM}$

Suy ra $\widehat{ECM}=\widehat{CEM}$ nên tam giác MEC cân tại M.

Do đó ME = MC

Mặt khác, MB = MC nên ME = MB = MC.

Suy ra tam giác EMB cân tại M nên $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$ .

• Xét ∆EBC có $\widehat{BEC}+\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Hay $\widehat{BEC}+\widehat{MCE}+\widehat{MBE}=180°$

Mà $\widehat{MEC}=\widehat{MCE}$ và $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$

Nên $\widehat{BEC}+\widehat{MEC}+\widehat{MEB}=180°$ hay $\widehat{BEC}+\widehat{BEC}=180°$

Suy ra $2\widehat{BEC}=180°$

Do đó $\widehat{BEC}=\frac{180°}{2}=90°$ nên $\widehat{AEC}=90°.$

• Xét ∆BEC và ∆AEC có:

$\widehat{BEC}=\widehat{AEC}$ (cùng bằng 90°),

EC là cạnh chung,

BE = AE (chứng minh câu a)

Do đó ∆BEC = ∆AEC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra BC = AC.

Mà AB = AC (chứng minh câu a).

Do đó AB = BC = AC nên tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy điều kiện để EG là tia phân giác của góc DEM là tam giác ABC là tam giác đều.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 79 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (AB < AC). Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm E ....

• Bài 80 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}$ . Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K ....

• Bài 81 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE ....

• Bài 82 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}=60°$ , AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC) ....

• Bài 83 trang 93 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai đường thẳng song song a, b và một đường thẳng c (c cắt a tại E, c cắt b tại F) ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---