Giải Toán 11 trang 48 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 11 trang 48 Tập 1 trong Bài 1: Dãy số Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 48.

Giải Toán 11 trang 48 Tập 1 Cánh diều

Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$ ;

b) $u_n=\frac{3^n}{2^n.n!}$ ;

c) u_n = (– 1)ⁿ.(2ⁿ + 1).

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n+1}=\frac{n+1-3}{n+1+2}=\frac{n-2}{n+3}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{n-2}{n+3}-\frac{n-3}{n+2}=\frac{n^2-4-n^2+9}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}=\frac{5}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Suy ra u_n+1 > u_n

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}.\left(n+1\right)!}=\frac{{3.3}^n}{2\left(n+1\right){.2}^n.n!}=\frac{3}{2\left(n+1\right)}.u_n$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{3}{2\left(n+1\right)}<\frac{3}{2}$ suy ra u_n+1 < u_n.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

c) Ta có: u_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹.(2ⁿ⁺¹ + 1)

+) Nếu n chẵn thì u_n+1 = – (2.2ⁿ + 1) và u_n = 2ⁿ + 1. Do đó u_n+1 < u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì u_n+1 = 2.2ⁿ + 1 và u_n = – (2ⁿ + 1). Do đó u_n+1 > u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.

Bài 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = n² + 2;

b) u_n = – 2n + 1;

c) $u_n=\frac{1}{n^2+n}$ .

Lời giải:

a) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra n² + 2 ≥ 3

Do đó u_n ≥ 3

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 3.

b) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra u_n = – 2n + 1 ≤ – 1

Do đó u_n ≤ – 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi – 1.

c) Ta có: $u_n=\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}\Rightarrow u_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$> 0

Ta lại có: $\frac{1}{n}\le$1 và $-\frac{1}{n+1}\le -\frac{1}{2}$ suy ra $u_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\le 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Do đó 0<$u_n\le \frac{1}{2}$

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số thực dương (u_n). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là dãy số tăng khi và chỉ khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}$>1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

+) Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}$>1 với mọi n ∈ ℕ^* thì u_n+1 > u_n. Do đó dãy số (u_n) là dãy số tăng.

+) Nếu (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 > u_n do đó $\frac{u_{n+1}}{u_n}$>1.

Bài 6 trang 48 Toán 11 Tập 1: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu động. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi P_n (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của P_n tính theo n.

Lời giải:

a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:

P₁ = 100 + 100.0,5% + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

P₂ = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6= (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

P₃ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)² + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).

c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

P₄ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)³ + 6.(1 + 0,5%)³ + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

P_n = 100,5.(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-2 + 6.(1 + 0,5%)^n-3 + ... + 6 với mọi n ∈ ℕ^*.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay khác:

• Giải Toán 11 trang 43

• Giải Toán 11 trang 44

• Giải Toán 11 trang 46

• Giải Toán 11 trang 47

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

• Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

• Toán 11 Bài tập cuối chương 2

• Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

• Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---