Giải Toán 11 trang 44 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 11 trang 44 Tập 2 trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 44.

Giải Toán 11 trang 44 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 3 trang 44 Toán 11 Tập 2:

Cho biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx.

Lời giải:

Có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{2cos\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(2cos\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\right)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}}\right)$

$=\left(2cos\left(\frac{2x_0}{2}\right)\right)\cdot \frac{1}{2}=\cos x_0$ (do $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}}=1$).

Vậy y' = (sinx)' = cosx.

Thực hành 4 trang 44 Toán 11 Tập 2:

Tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại $x=\frac{3\pi }{4}$.

Lời giải:

Ta có y' = (tanx)' = $\frac{1}{co{s}^{2}x}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{1}{co{s}^2\left(\frac{3\pi }{4}\right)}=2$.

Hoạt động khám phá 4 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ và $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x;

b) y = lnx.

Lời giải:

a) Có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^x-e^{x_0}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x_0}\left(e^{x-x_0}-1\right)}{x-x_0}=e^{x_0}$ (do $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x-x_0}-1}{x-x_0}=1$).

Vì y'(x₀) = $e^{x_0}$ nên y' = (e^x)' = e^x.

b) Ta có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{1}{x_0}\cdot \frac{\ln \frac{x}{x_0}}{\frac{x}{x_0}-1}\right)$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{x_0}\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\left(\frac{x}{x_0}-1\right)\right)}{\frac{x}{x_0}-1}=\frac{1}{x_0}$

(do $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\left(\frac{x}{x_0}-1\right)\right)}{\frac{x}{x_0}-1}=1$.

Do y'(x₀) = $\frac{1}{x_0}$nên y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$.

Thực hành 5 trang 44 Toán 11 Tập 2:

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = 9^x tại x = 1;

b) y = lnx tại $x=\frac{1}{3}$.

Lời giải:

a) Ta có y' = (9^x)' = 9^x×ln9.

Khi đó y'(1) = 9¹×ln9 = 9ln9.

b) Ta có y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$.

Khi đó $y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm hay khác:

• Giải Toán 11 trang 42
• Giải Toán 11 trang 43
• Giải Toán 11 trang 46
• Giải Toán 11 trang 47
• Giải Toán 11 trang 48
• Giải Toán 11 trang 49

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

• Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---