Giải Toán 11 trang 49 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 11 trang 49 Tập 2 trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 49.

Giải Toán 11 trang 49 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 49 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = sin3x;

b) y = cos³2x;

c) y = tan²x;

d) y = cot(4 – x²).

Lời giải:

a) y' = (sin3x)' = cos3x×(3x)' = 3cos3x.

b) y' = (cos³2x)' = 3cos²2x(cos2x)' = −6cos²2xsin2x.

c) y' = (tan²x)' = 2tanx×(tanx)'

= $2\tan x\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)$ = 2tanx(1 + tan²x).

d) y' = [cot(4 – x²)]' = $-\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\text{'}}}{{\sin }^2\left(4-x^2\right)}$$=\frac{2x}{{\sin }^2\left(4-x^2\right)}$.

Bài 3 trang 49 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x² – x)×2^x;

b) y = x²log₃x;

c) y = e^{3x + 1}.

Lời giải:

a) y' = [(x² – x)×2^x]' = (x² – x)'×2^x + (x² – x)×(2^x)'

= (2x – 1)×2^x + (x² – x)×2^x×ln2

= 2^x(x²ln2 + 2x – 1 – xln2).

b) y' = (x²log₃x)' = (x²)'log₃x + x²(log₃x)'

= 2xlog₃x + $\frac{x^2}{x\ln 3}$= $2x{\log }_{3}x+\frac{x}{\ln 3}$.

c) y' = (e^{3x + 1})' = e^{3x + 1}×(3x + 1)' = 3e^{3x + 1}.

Bài 4 trang 49 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 5x² + 3;

b) y = xe^x.

Lời giải:

a) y' = (2x⁴ – 5x² + 3)' = 8x³ – 10x.

y" = (8x³ – 10x)' = 24x² – 10.

Vậy y" = 24x² – 10.

b) y' = (xe^x)' = x'e^x + x×(e^x)' = e^x + xe^x.

y" = (e^x + xe^x)' = e^x + e^x + xe^x = 2e^x + xe^x.

Vậy y" = 2e^x + xe^x.

Bài 5 trang 49 Toán 11 Tập 2: Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số w(t) = 0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15, trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound (nguồn: https://www.cdc.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi.

Lời giải:

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm t là:

w'(t) = (0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15)' = 0,002274t² – 0,1192t + 1,82.

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là:

w'(10) = 0,002274×(10)² – 0,1192×10 + 1,82. = 0,8554 (pound/tháng).

Vậy tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là 0,8554 pound/tháng.

Bài 6 trang 49 Toán 11 Tập 2: Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hàng là $C\left(x\right)=\sqrt{5x^2+60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số x(t) = 20t + 40. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Lời giải:

Ta có $C^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\sqrt{5x^2+60}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(5x^2+60\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{5x^2+60}}$$=\frac{10x}{2\sqrt{5x^2+60}}$$=\frac{5x}{\sqrt{5x^2+60}}$.

Có x'(t) = (20t + 40)' = 20; x(4) = 120.

Khi đó, tốc độ tăng chi phí của công ty sau t tháng là: C'(x(t)) = C'(x)×x'(t).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó là:

C'(x(4)) = C'(120)×x'(4) $=\frac{5\cdot 120}{\sqrt{5\cdot {120}^2+60}}\cdot 20\approx 44,7$ (nghìn đô-la/tháng).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó khoảng 44,7 nghìn đô/tháng.

Bài 7 trang 49 Toán 11 Tập 2: Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s(t) = 0,81t², trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200 m phía trên Mặt Trăng. Tại thời điểm t = 2 sau khi thả vật đó, tính:

a) Quãng đường vật đã rơi;

b) Gia tốc của vật.

Lời giải:

a) Quãng đường vật đã rơi tại thời điểm t = 2 là: s(2) = 0,81×2² = 3,24 (m).

Vậy sau 2 giây vật đã rơi được 3,24 m.

b) Có v(t) = s'(t) = (0,81t²)' = 1,62t.

a(t) = v'(t) = (1,62t)' = 1,62.

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 là 1,62 m/s².

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm hay khác:

• Giải Toán 11 trang 42
• Giải Toán 11 trang 43
• Giải Toán 11 trang 44
• Giải Toán 11 trang 46
• Giải Toán 11 trang 47
• Giải Toán 11 trang 48

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

• Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---