Bài 25 trang 108 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 25 trang 108 Toán 11 Tập 2: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1)}{n^{2} + 2 n + 3}$ ;

b) $\lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \dots + \frac{2^{n}}{3^{n}})$ ;

c) $\lim_{x \to - 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 4}$ ;

d) $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} + x + 1} + 2 x)$ .

Quảng cáo

Lời giải:

a) Ta có 1; 3; 5; …; 2n – 1 là một cấp số cộng có $\frac{2 n - 1 - 1}{2} + 1 = n$ (số hạng).

Suy ra 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = $\frac{1 + 2 n - 1}{2} \cdot n = n^{2}$ .

Khi đó $\lim_{n \to + \infty} \frac{1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1)}{n^{2} + 2 n + 3}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} + 2 n + 3}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}} = 1$ .

b) Ta có $1; \frac{2}{3}; \frac{4}{9}; ...; \frac{2^{n}}{3^{n}}$ là một cấp số nhân với u₁ = 1 và q = $\frac{2}{3}$ .

Khi đó $\lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \dots + \frac{2^{n}}{3^{n}})$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{n + 1}}{1 - \frac{2}{3}}$

Bài 25 trang 108 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 = 3.

c) $\lim_{x \to - 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 4}$ $= \lim_{x \to - 2} \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)}$ $= \lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 1}{x - 2} = \frac{2 \cdot (- 2) - 1}{- 2 - 2} = \frac{5}{4}$

d) $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} + x + 1} + 2 x)$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{4 x^{2} + x + 1} - 2 x}$ = Bài 25 trang 108 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{- x \sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 2 x}$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 2}$ $= - \frac{1}{4}$ .