Bài 32 trang 109 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 32 trang 109 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA $⊥$ (ABCD) và SA = a $\sqrt{2}$ . Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.

a) Chứng minh AE $⊥$ (SBC).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 32 trang 109 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ AM $⊥$ SC tại M, SO $\cap$ AM = I.

Do ABCD là hình vuông nên AC $⊥$ BD.

Vì SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ BD mà AC $⊥$ BD nên BD $⊥$ (SAC), suy ra BD $⊥$ SC.

Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Khi đó (P) = (AEMF).

Do ABCD là hình vuông nên BC $⊥$ AB, SA $⊥$ BC (do SA $⊥$ (ABCD)) nên BC $⊥$ (SAB), suy ra BC $⊥$ AE.

Mặt khác SC $⊥$ (P) nên SC $⊥$ AE mà BC $⊥$ AE nên AE $⊥$ (SBC).

b) Ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S A$ $= \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .

Xét tam giác SAB vuông tại A, có $S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Xét tam giác SAD vuông tại A, có $S D = \sqrt{S A^{2} + A D^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + 2 a^{2}} = 2 a$ .

Có AE $⊥$ (SBC) nên AE $⊥$ SB.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AE là đường cao nên SA² = SE . SB.

Có $\frac{S E}{S B} = \frac{S E \cdot S B}{S B^{2}} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{2 a^{2}}{3 a^{2}} = \frac{2}{3}$ .

Xét tam giác SAC vuông tại A, AM là đường cao nên SA² = SM.SC.

Có $\frac{S M}{S C} = \frac{S M \cdot S C}{S C^{2}} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{2 a^{2}}{4 a^{2}} = \frac{1}{2}$ .

Do ABCD là hình vuông nên DC $⊥$ AD mà SA $⊥$ DC (do SA $⊥$ (ABCD)) nên DC $⊥$ (SAD), suy ra DC $⊥$ AF.

Mặt khác SC $⊥$ (P) nên SC $⊥$ AF mà DC $⊥$ AF nên AF $⊥$ (SCD), suy ra AF $⊥$ SD.

Xét tam giác SAD vuông tại A, AF là đường cao nên SA² = SF . SD.

Có $\frac{S F}{S D} = \frac{S F \cdot S D}{S D^{2}} = \frac{S A^{2}}{S D^{2}} = \frac{2 a^{2}}{3 a^{2}} = \frac{2}{3}$ .

Ta có $\frac{V_{S.AMF}}{V_{S . A C D}} = \frac{S A}{S A} \cdot \frac{S M}{S C} \cdot \frac{S F}{S D}$ $= 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow V_{S.AMF} = \frac{1}{3} V_{S . A C D}$ .

$\frac{V_{S.AME}}{V_{S . A C B}} = \frac{S A}{S A} \cdot \frac{S M}{S C} \cdot \frac{S E}{S B}$ $= 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow V_{S.AME} = \frac{1}{3} V_{S . A C B}$ .

Suy ra $V_{S.AMF} + V_{S.AME} = \frac{1}{3} V_{S . A C D} + \frac{1}{3} V_{S . A C B}$ $\Rightarrow V_{S.AEMF} = \frac{1}{3} (V_{S . A C D} + V_{S . A C B})$

$\Rightarrow V_{S.AEMF} = \frac{1}{3} V_{S . A B C D}$ $\Rightarrow V_{S.AEMF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{9}$