Giải Toán 12 trang 44 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 12 trang 44 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 1 Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 44.

Giải Toán 12 trang 44 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 1.41 trang 44 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{3x-2}$trên nửa khoảng [2; +∞);

b) $y=\sqrt{2-x^2}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng [2; +∞)

Có $y^{\text{'}}=\frac{2\left(3x-2\right)-3\left(2x+1\right)}{{\left(3x-2\right)}^2}=\frac{-7}{{\left(3x-2\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\in \left[2;+\infty \right)$

Do đó $\underset{\left[2;+\infty \right)}{\max }y=y\left(2\right)=\frac{5}{4}$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng [2; +∞).

b) Tập xác định $D=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

Có $y^{\text{'}}=\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}$; y' = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn).

Có $y\left(-\sqrt{2}\right)=0; y\left(0\right)=\sqrt{2}; y\left(\sqrt{2}\right)=0$

Vậy $\underset{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\max }y=y\left(0\right)=\sqrt{2};$ $\underset{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\min }y=y\left(-\sqrt{2}\right)=y\left(\sqrt{2}\right)=0$

Bài 1.42 trang 44 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{3x-2}{x+1}$;                                     b) $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{3x-2}{x+1}$

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=+\infty$

Do đó x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=3;$ $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=3$

Do đó y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}+\frac{1}{4\left(2x-1\right)}$

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{\frac{1}{2}\right\}$

$\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=+\infty ;$ $\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=-\infty$

Do đó $x=\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{4\left(2x-1\right)}=0;$

Do đó $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=+\infty ;$ $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=-\infty$

Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Bài 1.43 trang 44 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x³ + 6x² – 9x + 12;

b) $y=\frac{2x-1}{x+1};$

c) $y=\frac{x^2-2x}{x-1}$

Lời giải:

a) y = −x³ + 6x² – 9x + 12

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

+) Có y' = −3x² + 12x – 9; y' = 0 ⇔ −3x² + 12x – 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

+) Trên khoảng (1; 3), y' > 0 nên hàm số đồng biến

Trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = 8; Hàm số đạt cực đại tại x = 3 và y_CĐ = 12.

+) Giới hạn tại vô cực: 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^3+6x^2-9x+12\right)=+\infty ;$ $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-x^3+6x^2-9x+12\right)=-\infty$

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 12).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 8); (3; 12).

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(2; 10).

b) $y=\frac{2x-1}{x+1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

+) $y^{\text{'}}=\frac{2\left(x+1\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne -1$

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=-\infty$

Do đó x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2;$ $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$

Do đó y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là (0; −1).

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là $\left(\frac{1}{2};0\right)$

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

c) $y=\frac{x^2-2x}{x-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

$y=\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$

+) Có $y^{\text{'}}=1+\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne 1$

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x-1}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1}{x-1}=0$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại (0; 0).

+) Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại (0; 0); (2; 0).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Bài 1.44 trang 44 Toán 12 Tập 1: Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$.

a) Viết công thức tính q = g(p) như một hàm số của biến p ∈ (f; +∞).

b) Tính các giới hạn $\underset{p\to +\infty }{\lim }g\left(p\right);\underset{p\to f^{+}}{\lim }g\left(p\right)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số q = g(p) trên khoảng (f; +∞).

Lời giải:

a) Ta có $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}\iff \frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}\iff \frac{1}{q}=\frac{p-f}{pf}\iff q=\frac{pf}{p-f}$

Do đó q = g(p) = $\frac{pf}{p-f}$ với p ∈ (f; +∞).

b) $\underset{p\to +\infty }{\lim }g\left(p\right)=\underset{p\to +\infty }{\lim }\frac{pf}{p-f}=\underset{p\to +\infty }{\lim }\frac{f}{1-\frac{f}{p}}=f;\underset{p\to f^{+}}{\lim }g\left(p\right)=\underset{p\to f^{+}}{\lim }\frac{pf}{p-f}=+\infty$

Từ $\underset{p\to +\infty }{\lim }g\left(p\right)=f$ suy ra đồ thị hàm số q = g(p) nhận đường thẳng q = f làm tiệm cận ngang. Như vậy, khi vật đặt cách thấu kính càng xa thì ảnh càng tiến gần đến tiêu điểm của thấu kính.

Từ $\underset{p\to f^{+}}{\lim }g\left(p\right)=+\infty$ suy ra đồ thị hàm số q = g(p) nhận đường thẳng p = f làm tiệm cận đứng. Như vậy, khi vật đặt càng gần tiêu điểm thì ảnh càng tiến ra xa vô hạn.

c) Ta có $q^{\text{'}}=\frac{f\left(p-f\right)-pf}{{\left(p-f\right)}^2}=\frac{-f^2}{{\left(p-f\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall p\in \left(f;+\infty \right)$

Do đó hàm số q = g(p) nghịch biến trên khoảng (f; +∞).

Bài 1.45 trang 44 Toán 12 Tập 1: Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: N(t) = 100e^0,012t (N(t) được tính bằng triệu người, 0 ≤ t ≤ 50).

a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50].

c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Lời giải:

a) Dân số của quốc gia này vào năm 2030 (t = 7) là:

N(7) = 100e^0,012.7 ≈ 108,763 triệu người.

Dân số của quốc gia này vào năm 2035 (t = 12) là:

N(12) = 100e^0,012.12 ≈ 115,488 triệu người.

b) Ta có N'(t) = 100.0,012.e^0,012t = 1,2. e^0,012t > 0 với mọi t ∈ [0; 50].

Do đó hàm số N(t) luôn đồng biến trên đoạn [0; 50].

c) Ta có N'(t) = 1,2. e^0,012t. Tốc độ tăng dân số là 1,6 triệu người/năm nếu

1,2. e^0,012t = 1,6 ⇔ $e^{\mathrm{0,012}t}=\frac{4}{3}$ ⇔ t = $\frac{\ln \frac{4}{3}}{\mathrm{0,012}}\approx \mathrm{23,97}$.

Vậy vào khoảng năm 2047 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Bài 1.46 trang 44 Toán 12 Tập 1: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi khoảng cách BM là x (km), (0 ≤ x ≤ 10).

Khi đó khoảng cách AM là 10 – x (km).

Khoảng cách CM là $\sqrt{16+x^2}$(km).

Khi đó chi phí lắp đặt dây điện là: $f\left(x\right)=30\left(10-x\right)+50\sqrt{16+x^2}$(triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm x để f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)=-30+\frac{50x}{\sqrt{16+x^2}}$

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$

$\iff -30+\frac{50x}{\sqrt{16+x^2}}=0$

$\iff -30\sqrt{16+x^2}+50x=0$

$\iff 3\sqrt{16+x^2}=5x$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 9\left(16+x^2\right)=25x^2\end{array}\right.$

$\iff x=3$

Ta có f(0) = 500; f(3) = 460; f(10) = $100\sqrt{29}$.

Do đó chi phí nhỏ nhất để lắp dây điện là 460 triệu đồng khi M cách B một đoạn 3 km trên đoạn AB.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 42
• Giải Toán 12 trang 43

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian

• Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

• Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• Toán 12 Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---