Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm.

Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

- Với một tập hợp gồm n phần tử và số tự nhiên k với k ≤ n:

+ Số các hoán vị của tập hợp là

P_n = n(n – 1)(n – 2)…1 = n!.

+ Số các chỉnh hợp chập k của n là

$A_n^k=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\mathrm{...}\left(n-k+1\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}\left(1\le k\le n\right)$.

+ Số các tổ hợp chập k của n là

$C_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}\left(0\le k\le n\right)$.

- Chỉnh hợp và tổ hợp cùng chọn ra một số phần tử trong một tập hợp, nhưng chỉnh hợp sắp xếp các phần tử có thứ tự, còn tổ hợp chọn không xếp thứ tự các phần tử.

$A_n^k=k!.C_n^k$

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tổ 1 có 13 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để các học sinh của tổ 1 xếp thành 1 hàng?

Hướng dẫn giải:

Số cách để các học sinh của tổ 1 xếp thành 1 hàng là: P­₁₃ = 13! (cách).

Ví dụ 2. Câu lạc bộ cầu lông có 20 thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách bầu trưởng câu lạc bộ và phó câu lạc bộ từ 20 thành viên của câu lạc bộ?

Hướng dẫn giải:

Số cách bầu trưởng và phó câu lạc bộ là: $A_{20}^2=380$(cách).

Ví dụ 3. Anh Minh đến thành phố A du lịch. Thành phố A có 9 địa điểm tham quan nổi tiếng. Hỏi anh Minh có bao nhiêu cách chọn lịch trình cho mình, biết anh chỉ có thể đi du lịch tại 5 địa điểm?

Hướng dẫn giải:

Số cách chọn lịch trình của anh Minh là: $C_9^5=126$(cách).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn An, Bình, Cường, Dũng, Đạt ngồi chung vào 1 băng ghế dài?

A. 625;

B. 480;

C. 120;

D. 100.

Bài 2. Có 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt các viên bi thành 1 hàng sao cho các viên bi cùng màu đứng cạnh nhau?

A. 479 001;

B. 350 210;

C. 235 596;

D. 103 680.

Bài 3. Từ mỗi hoán vị của các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta được một số tự nhiên. Tổng tất cả các số tự nhiên được tạo thành từ 5 chữ số theo cách trên là

A. 3 999 960;

B. 3 781 360;

C. 3 860 256;

D. 3 732 560.

Bài 4. Một lớp học có 32 học sinh. Có bao nhiêu cách bầu ban cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư từ 32 học sinh của lớp học?

A. 32 768;

B. 29 760;

C. 30 560;

D. 31 480.

Bài 5. Huấn luyện viên một đội bóng đá muốn chọn 5 cầu thủ để đá luân lưu từ 11 cầu thủ của đội bóng. Có bao nhiêu cách chọn để 2 cầu thủ A hoặc B thực hiện cú đá đầu tiên?

A. 10 080;

B. 14 280;

C. 15 840;

D. 12 360.

Bài 6. Huấn luyện viên một đội bóng đá muốn chọn 5 cầu thủ để đá luân lưu. Có bao nhiêu cách chọn để 2 cầu thủ A và B thực hiện cú đá đầu tiên?

A. 2016;

B. 1634;

C. 1280;

D. 1008.

Bài 7. Có bao nhiêu cách để lấy 4 lá bài bất kỳ từ 1 bộ bài tây 52 lá?

A. 276 164;

B. 274 462;

C. 272 795;

D. 270 725.

Bài 8. Trong một mặt phẳng có 15 điểm. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đường thẳng trên mặt phẳng đó?

A. 210;

B. 105;

C. 185;

D. 160.

Bài 9. Trong một túi có 6 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy ra 4 viên bi trong đó có 2 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh?

A. 126;

B. 96;

C. 75;

D. 45.

Bài 10. Một lớp học có 15 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Cô giáo chọn ra nhóm học tập gồm 6 bạn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong nhóm có cả nam và nữ?

A. 376 470;

B. 375 426;

C. 372 168;

D. 369 749.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Khai triển nhị thức Newton bằng vận dụng tổ hợp với số mũ thấp (n = 4 hoặc n = 5)

• Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton

• Rút gọn biểu thức

• Sử dụng nhị thức Newton để tính giá trị gần đúng

• Các bài toán thực tế ứng dụng nhị thức Newton

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---