Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu

Siêu sale 5-5 Shopee

Giải vở bài tập Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Câu 4 trang 112 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh:

Quảng cáo

a) IA, IB, IC lần lượt là tia phân giác của các góc NIP, PIM, MIN.

b) $\hat{N I P}$ = 180^o – $\hat{B A C}$ ;

c) $\hat{I N P}$ = $\hat{I P N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ ;

d) $\hat{M N P}$ = 90^o – $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ ;

Lời giải:

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu

a) Xét hai tam giác vuông IAP và IAN, ta có:

IA là cạnh chung;

$\hat{I A P}$ = $\hat{I A N}$ (do I nằm trên tia phân giác góc A).

Suy ra ∆IAP = ∆IAM (cạnh huyền – góc nhọn).

Quảng cáo

Do đó $\hat{A I P}$ = $\hat{A I N}$ (hai góc tương ứng).

Suy ra tia IA là tia phân giác của góc NIP.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

IB là tia phân giác của góc PIM, IC là tia phân giác của góc MIN.

b) Xét tam giác vuông AIP, ta có $\hat{A I P}$ + $\hat{I A P}$ = 90^o

Xét tam giác vuông AIN, ta có $\hat{A I N}$ + $\hat{I A N}$ = 90^o

Suy ra $\hat{A I P}$ + $\hat{I A P}$ + $\hat{A I N}$ + $\hat{I A N}$ = 90^o + 90^o = 180^o

( $\hat{A I P}$ + $\hat{A I N}$ ) + ( $\hat{I A P}$ + $\hat{I A N}$ ) = 180^o (1)

Mà $\hat{A I P}$ và $\hat{A I N}$ , $\hat{I A P}$ và $\hat{I A N}$ là các cặp góc kề nhau nên:

Quảng cáo

$\hat{A I P}$ + $\hat{A I N}$ = 90^o và $\hat{I A P}$ + $\hat{I A N}$ = 90^o (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $\hat{N I P}$ + $\hat{N A P}$ = 180^o hay $\hat{N I P}$ + $\hat{B A C}$ = 180^o

Do đó: $\hat{N I P}$ = 180^o – $\hat{B A C}$ ;

c) Vì I là giao điểm của ba đường phân giác nên IN = IP

Suy ra tam giác INP là tam giác cân tại I. Do đó: $\hat{I N P}$ = $\hat{I P N}$

Mà $\hat{I N P}$ + $\hat{I P N}$ + $\hat{N I P}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra 2 $\hat{I N P}$ + (180^o – $\hat{B A C}$ ) = 180^o hay 2 $\hat{I N P}$ – $\hat{B A C}$ = 0^o.

Quảng cáo

Suy ra : $\hat{I N P}$ = $\hat{I P N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ .

d) Chứng minh tương tự câu c, ta có: $\hat{I M P}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A B C}$ , $\hat{I M N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A C B}$ .

Suy ra $\hat{N M P}$ = $\hat{I M P}$ + $\hat{I M N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A B C}$ + $\frac{1}{2}$ $\hat{A C B}$ = $\frac{1}{2}$ ( $\hat{A B C}$ + $\hat{A C B}$ ) (3)

Ta có $\hat{B A C}$ + $\hat{A B C}$ + $\hat{A C B}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{A B C}$ + $\hat{A C B}$ = 180^o – $\hat{B A C}$

Từ (3) và (4) suy ra $\hat{N M P}$ = $\frac{1}{2}$ (180^o – $\hat{B A C}$ ) = 90^o – $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ .

Xem thêm các bài giải Vở bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 7

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Khóa học online bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

999,000đ

299.000 - 599.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.