Cho biểu thức trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x^2y^2 – 1 ≠ 0

Giải vở thực hành Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 5 trang 123 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho biểu thức $P=\left(\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}\right):\left(1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}\right),$ trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x²y² – 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$ và $B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}.$

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức $P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}.$

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Lời giải:

a) Ta có: $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}=\frac{\left(x+y\right)\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1-xy\right)\left(1+xy\right)}$

$=\frac{x+x^{2}y+x{y}^2+y+x-x^{2}y+x{y}^2-y}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{2x+2x{y}^2}{1-x^2{y}^2}=\frac{2x\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}.$

$B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}=\frac{1-x^2{y}^2+x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{x^2+y^2+x^2{y}^2+1}{1-x^2{y}^2}=\frac{\left(1+x^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}.$

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

$P=A:B=\frac{2x\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}:\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{2x\left(1+x^2\right)}{1-x^2{y}^2}.\frac{1-x^2{y}^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=\frac{2x}{1+x^2}.$ (*)

Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta thấy:

$1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=\frac{1+x^2-\left(1-2x+x^2\right)}{1+x^2}=\frac{1+x^2-1+2x-x^2}{1+x^2}=\frac{2x}{1+x^2}.$

So sánh kết quả này với (*), ta suy ra $P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}.$

d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi $\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=0.$ Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x²y² – 1 ≠ 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y² ≠ 1 hay $y\ne \pm 1.$

Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x²y² – 1 ≠ 0): $P=\frac{2x}{1+x^2}=1,$ hay 2x = 1 + x², tức là (x – 1)² = 0, hay x = 1.

Lời giải vở thực hành Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

• Bài 1 trang 121 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau ...

• Bài 2 trang 121 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho đa thức P = x² – y² + 6x + 9. Phân tích đa thức P thành nhân tử ...

• Bài 3 trang 122 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho đa thức f(x) = x² – 15x + 56. Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử ...

• Bài 4 trang 122 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho phân thức $P=\frac{2x^3+6x^2}{2x^3-18x}.$ Viết điều kiện xác định và rút gọn phân thức P ...

• Bài 6 trang 124 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Bảng giá cước của một hãng taxi như sau ...

• Bài 7 trang 124 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Với giá trị nào của m, đường thẳng y = mx + 1 (m ≠ 0) ...

• Bài 8 trang 125 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD ...

• Bài 9 trang 126 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến AF, BE và CD cắt nhau tại G ...

• Bài 10 trang 126 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Hình sau mô tả một dụng cụ đo bề dày (nhỏ hơn 1 cm) của một số sản phẩm ...

• Bài 11 trang 127 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC ...

• Bài 12 trang 128 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông, có các đường cao BE ...

• Bài 13 trang 128 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho bảng thống kê sau ...

• Bài 14 trang 129 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Báo điện tử VnExpress đã khảo sát ý kiến của bạn đọc về phương án xử lý cầu Long Biên ...

• Bài 15 trang 130 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Một túi đựng 24 viên bi giống hệt nhau chỉ khác màu, trong đó có 9 viên bi màu đỏ ...

Xem thêm các bài giải vở thực hành Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• VTH Toán 8 Chương 6: Phân thức đại số

• VTH Toán 8 Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

• VTH Toán 8 Chương 8: Mở đầu về tính xác suất của biến cố

• VTH Toán 8 Chương 9: Tam giác đồng dạng

• VTH Toán 8 Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn

---