Lý thuyết Tích phân lớp 12 (hay, chi tiết)
Bài viết Lý thuyết Tích phân lớp 12 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Tích phân.
Lý thuyết Tích phân
Bài giảng: Bài 2 : Tích phân - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là
Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Vậy .
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S =
2. Tính chất của tích phân
B. Kĩ năng giải bài tập
1. Một số phương pháp tính tích phân
I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
Lời giải:
II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
Sử dụng tính chất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 2: Tính tích phân .
Lời giải:
Nhận xét: . Do đó
III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b] với g liên tục trên đoạn [α; β]. Khi đó, ta có
Ví dụ 3: Tính tích phân .
Lời giải:
Đặt u = sinx. Ta có du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1
Khi đó
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
2) Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β](*) sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân thì nên đổi biến dạng 1.
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a) Đặt x = sint ta có dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.
Vậy
b) Đặt x = tant, ta có dx = (1 + tan2t)dt. Đổi cận: .
Vậy
IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
hay viết gọn là . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính
Dạng hàm |
P(x): Đa thức Q(x): sin(kx) hay cos(kx) |
P(x): Đa thức Q(x): ekx |
P(x): Đa thức Q(x): ln(ax + b) |
P(x): Đa thức Q(x): 1/sin2x hay 1/cos2x |
Cách đặt |
* u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
* u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
* u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx |
* u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau :
Lời giải:
a) Đặt
Do đó
b) Đặt
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Lý thuyết Nguyên hàm
- Lý thuyết Tích phân
- Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học
- Lý thuyết Ôn tập chương 3
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12