Bài 2.9 trang 43 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu - Kết nối tri thức

Bài 2.9 trang 43 Chuyên đề Toán 12: Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích 5 ℓ. Giá sản xuất mặt xung quanh là 100 nghìn đồng m², giá sản xuất mặt đáy là 120 nghìn đồng/m². Hỏi công ty có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu thùng sơn? (Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)

Lời giải:

Đổi 5 ℓ = 5 dm³ = 0,005 m³.

Gọi x (m) là bán kính của đáy thùng đựng sơn hình trụ, x > 0.

Khi đó, chiều cao của thùng đựng sơn hình trụ là: $\frac{0,005}{\pi x^2}\text{ (m).}$

Diện tích xung quanh của thùng đựng sơn hình trụ là: $S_{xq}=2\pi x\cdot \frac{0,005}{\pi x^2}=\frac{\text{0,01}}{x}{\text{ (m}}^2\text{).}$

Diện tích đáy của thùng đựng sơn hình trụ là: S_đáy = πx² (m²).

Giá sản xuất mặt xung quanh của một thùng đựng sơn là: $100\cdot \frac{\text{0,01}}{x}=\frac{1}{x}$ (nghìn đồng).

Giá sản xuất hai mặt đáy của một thùng đựng sơn là: 120.2πx² = 240πx² (nghìn đồng).

Chi phí sản xuất một thùng sơn là: $C\left(x\right)=\frac{1}{x}+240\pi x^2$ (nghìn đồng) với x > 0.

Ta có $C^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}+480\pi x.$

$C^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff -\frac{1}{x^2}+480\pi x=0\iff 480\pi x^3=1\iff x=\sqrt[3]{\frac{1}{480\pi }}.$

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞).

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }C\left(x\right)\approx 17,20105$  khi $x=\sqrt[3]{\frac{1}{480\pi }}\approx 0,0872.$

Khi đó, chi phí thấp nhất để sản xuất một thùng sơn là khoảng 17,20105 nghìn đồng hay 17 201,05 đồng.

Ta có: 1 000 000 : 17 210,05 ≈ 58 135,98.

Vậy công ty có thể sản xuất được tối đa 58 135 thùng sơn.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 35 Chuyên đề Toán 12: Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam ....

• Luyện tập 1 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Một vật được ném từ mặt đất lên trời xiên góc α so với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu v₀ = 9 m/s (H.2.10).....

• Luyện tập 2 trang 38 Chuyên đề Toán 12: (Định luật khúc xạ ánh sáng). Gọi v_kk là vận tốc ánh sáng trong không khí và v_n là vận tốc ánh sáng trong nước. Theo nguyên lí Fermat, một tia sáng di chuyển từ một điểm A....

• Luyện tập 3 trang 40 Chuyên đề Toán 12: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là ....

• Luyện tập 4 trang 42 Chuyên đề Toán 12: Biết rằng C(x) = 16 000 + 500x – 1,64x² + 0,004x³ là hàm chi phí và p(x) = 1 700 – 7x là hàm cầu của x đơn vị hàng hóa....

• Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề Toán 12: Một cửa sổ có dạng phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (H.2.17). ...

• Bài 2.7 trang 42 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn kéo một đường dây điện từ nhà máy điện đặt tại điểm A đến một hòn đảo nhỏ C. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển....

• Bài 2.8 trang 43 Chuyên đề Toán 12: Một xe khách tuyến có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu chuyến xe chở x hành khách thì giá cho mỗi hành khách là ...

• Bài 2.10 trang 43 Chuyên đề Toán 12: Giả sử C(x) = 18 000 + 500x – 1,6x² + 0,004x³ (nghìn đồng) là hàm chi phí và p(x) = 1 500 – 3x (nghìn đồng) là hàm cầu của x đơn vị một loại hàng hoá nào đó.....

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 2

• Chuyên đề Toán 12 Bài 5: Tiền tệ. Lãi suất

• Chuyên đề Toán 12 Bài 6: Tín dụng. Vay nợ

• Chuyên đề Toán 12 Bài 7: Đầu tư tài chính. Lập kế hoạch tài chính cá nhân

• Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 3

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều

---