Luyện tập 2 trang 38 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Voucher giảm giá Shopee dịp 15-09

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 38 Chuyên đề Toán 12: (Định luật khúc xạ ánh sáng)

Quảng cáo

Gọi v_kk là vận tốc ánh sáng trong không khí và v_n là vận tốc ánh sáng trong nước. Theo nguyên lí Fermat, một tia sáng di chuyển từ một điểm A trong không khí đến một điểm B trong nước theo đường gấp khúc APB sao cho tổng thời gian di chuyển là nhỏ nhất (H.2.13). Vận dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số T(x) (tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB) để chứng tỏ rằng khi T(x) nhỏ nhất thì góc tới i và góc khúc xạ r thoả mãn phương trình $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_{k k}}{v_{n}} .$

Phương trình này được gọi là Định luật Snell.

Luyện tập 2 trang 38 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Lời giải:

Từ hình vẽ, với 0 ≤ x ≤ c ta có: $A P = \sqrt{a^{2} + x^{2}}$ và $P B = \sqrt{b^{2} + {(c - x)}^{2}} .$

Thời gian ánh sáng di chuyển từ A đến P là: $t_{1} = \frac{A P}{v_{k k}} = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{v_{k k}} .$

Thời gian ánh sáng di chuyển từ P đến B là: $t_{2} = \frac{P B}{v_{n}} = \frac{\sqrt{b^{2} + {(c - x)}^{2}}}{v_{n}} .$

Khi đó, tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB là:

$T (x) = t_{1} + t_{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{v_{k k}} + \frac{\sqrt{b^{2} + {(c - x)}^{2}}}{v_{n}} .$

Xét hàm số $T (x) = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{v_{k k}} + \frac{\sqrt{b^{2} + {(c - x)}^{2}}}{v_{n}}$ trên đoạn [0; c].

Đạo hàm của hàm T(x) là: $T^{'} (x) = \frac{x}{v_{k k} \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{c - x}{v_{n} \sqrt{b^{2} + {(c - x)}^{2}}} .$

Ta có $T^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{v_{k k} \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{c - x}{v_{n} \sqrt{b^{2} + {(c - x)}^{2}}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{v_{k k}} \cdot \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{v_{n}} \cdot \frac{c - x}{\sqrt{b^{2} + {(c - x)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{v_{k k}} \cdot \sin i = \frac{1}{v_{n}} \cdot \sin r \Leftrightarrow \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_{k k}}{v_{n}} .$

Giả sử x = x₀ thỏa mãn $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_{k k}}{v_{n}} .$

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

$T (0) = \frac{a}{v_{k k}} + \frac{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}{v_{n}}; T (x_{0}) = \frac{\sqrt{a^{2} + x_{0}^{2}}}{v_{k k}} + \frac{\sqrt{b^{2} + {(c - x_{0})}^{2}}}{v_{n}}; T (c) = \frac{\sqrt{a^{2} + c^{2}}}{v_{k k}} + \frac{b}{v_{n}} .$

Ta có T(x₀) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị T(0), T(x₀), T(c).

Vậy T(x) nhỏ nhất khi góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_{k k}}{v_{n}} .$

Quảng cáo

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

Săn shopee giá ưu đãi :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official