Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-11 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3.13 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S};$

b) $m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) .$

Quảng cáo

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ (1)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S = \frac{1}{2} b c . \sin A$

$\Rightarrow \sin A = \frac{2 S}{b c}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

cotA = $\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} : \frac{2 S}{b c}$

$\Rightarrow \cot A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} . \frac{b c}{2 S}$

$\Rightarrow \cot A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S} .$

Chứng minh tương tự ta cũng có:

$\cot B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S}$ và $\cot C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}$

Do đó cotA + cotB + cotC

$= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}$

$= \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S}$

Vậy $\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} .$

b) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:

$m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4};$ $m_{b}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}$ và $m_{c}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4} .$

Do đó:

$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$

$= \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} + \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$

$= \frac{2 (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2} - \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4}$

$= (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$= \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) .$

Vậy $m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) .$

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.