Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.33 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{NE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PF}.\overrightarrow{AB}=0$

Lời giải:

Gọi H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

• Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC, nên $\overrightarrow{MD}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{OH}$ trên giá của

Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu ở phần Nhận xét của Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Toán 10, tập một) ta có:

$\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OH}.\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OB}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

• $\overrightarrow{NE}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OH}.\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{NE}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OC}$ (2)

• $\overrightarrow{PF}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OH}.\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{PF}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OA}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{NE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PF}.\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OA}$

= 0

Vậy $\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{NE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PF}.\overrightarrow{AB}=0.$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1 ....

• Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $BC=\sqrt{2}.$ ....

• Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A}<90°.$ ....

• Bài 4.32 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ ....

• Bài 4.34 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)....

• Bài 4.35 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD ....

• Bài 4.36 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5) ....

• Bài 4.37 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ....

• Bài 4.38 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---