Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.36 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.

b) Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Vì C cách đều A và B nên CA = CB

$\iff$ AC² = BC²

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành

Với A(1; 1); B(7; 5) và C(x; 0) ta có:

• $\overrightarrow{AC}=\left(x-1;-1\right)$ $\Rightarrow$ AC² = (x – 1)² + (–1)²

$\Rightarrow$ AC² = x² – 2x + 2

• $\overrightarrow{BC}=\left(x-7;-5\right)$ $\Rightarrow$ BC² = (x – 7)² + (–5)²

$\Rightarrow$ BC² = x² – 14x + 74

Do đó AC² = BC²

$\iff$ x² – 2x + 2 = x² – 14x + 74

$\iff$ 12x = 72

$\iff$ x = 6

Vậy C(6; 0).

b) Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DM}$

Do đó để vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất thì vectơ $2\overrightarrow{DM}$ có độ dài ngắn nhất

$\iff$ DM có độ dài ngắn nhất

Hay DM² nhỏ nhất.

Giả sử D(0; y) là điểm thuộc trục tung

Với A(1; 1); B(7; 5) và D(0; y) ta có:

$\Rightarrow$ M(4; 3)

$\Rightarrow \overrightarrow{DM}=\left(4;3-y\right)$

$\Rightarrow$ DM² = 4² + (3 – y)²

Hay DM² = (y – 3)² + 16

Vì (y – 3)² ≥ 0 với mọi y

Nên (y – 3)² + 16 ≥ 16 với mọi y

Hay DM² ≥ 16 với mọi y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y – 3 = 0 Û y = 3.

Do đó DM đạt giá trị nhỏ nhất khi D(0; 3)

Vậy D(0; 3) thì vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1 ....

• Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $BC=\sqrt{2}.$ ....

• Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A}<90°.$ ....

• Bài 4.32 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ ....

• Bài 4.33 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C ....

• Bài 4.34 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)....

• Bài 4.35 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD ....

• Bài 4.37 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ....

• Bài 4.38 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---