Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

HOT Sale 40% sách Toán - Văn - Anh 10 Vietjack 15-05 trên Shopee mall

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A} < 90 ° .$ Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{A E} - \vec{A D})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A C} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D})$

Mà AB ⊥ AD nên $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Và AC ⊥ AE nên $\vec{A C} . \vec{A E} = 0$

Do đó $\vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D})$

Ta có:

• $\vec{A B} . \vec{A E} = A B . A E . c o s \hat{B A E}$

Và $\vec{A C} . \vec{A D} = A C . A D . c o s \hat{C A D}$

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

• $\hat{B A E} = \hat{B A C} + \hat{C A E} = \hat{B A C} + 90 °$

Và $\hat{C A D} = \hat{B A C} + \hat{B A D} = \hat{B A C} + 90 °$

$\Rightarrow \hat{B A E} = \hat{C A D}$

Do đó $\vec{A B} . \vec{A E} = \vec{A C} . \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A B} . \vec{A E}) = 0$

$\Rightarrow \vec{A M} ⊥ \vec{D E}$

b) Ta có: $\vec{B E} = \vec{A E} - \vec{A B}$ và $\vec{C D} = \vec{A D} - \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{B E} . \vec{C D} = (\vec{A E} - \vec{A B}) . (\vec{A D} - \vec{A C})$

$= \vec{A E} . \vec{A D} - \vec{A E} . \vec{A C} - \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A B} . \vec{A C}$

$= \vec{A E} . \vec{A D} + \vec{A B} . \vec{A C}$ (do $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$ và $\vec{A C} . \vec{A E} = 0$ )

Ta có:

• $\vec{A E} . \vec{A D} = A E . A D . c o s \hat{D A E}$

Và $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

• AB = AD và AC = AE

• $\hat{D A E} = 360 ° - \hat{D A B} - \hat{B A C} - \hat{C A E}$

$\Rightarrow \hat{D A E} = 360 ° - 90 ° - \hat{B A C} - 90 °$

$\Rightarrow \hat{D A E} = 180 ° - \hat{B A C}$

$\Rightarrow c o s \hat{D A E} = c o s (180 ° - \hat{B A C}) = - c o s \hat{B A C}$

$\Rightarrow \vec{A E} . \vec{A D} = - \vec{A B} . \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{B E} . \vec{C D} = \vec{A E} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C} = 0$

$\Rightarrow \vec{B E} ⊥ \vec{C D}$

$\Rightarrow$ BE ⊥ CD.

c) Ta có: $B E^{2} = {\vec{B E}}^{2} = {(\vec{A E} - \vec{A B})}^{2}$

$= {\vec{A E}}^{2} - 2. \vec{A E} . \vec{A B} + {\vec{A B}}^{2}$

$= A E^{2} + A B^{2} - 2. A E . A B . c o s \hat{E A B}$

$= A D^{2} + A C^{2} - 2. A D . A C . c o s \hat{C A D}$

$= {\vec{A D}}^{2} + {\vec{A C}}^{2} - 2 \vec{A D} . \vec{A C}$

$= {(\vec{A D} - \vec{A C})}^{2}$

$= {\vec{C D}}^{2} = C D^{2}$

$\Rightarrow$ BE = CD (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} C D$ và MN // CD (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

$\Rightarrow M P = \frac{1}{2} B E$ và MP // BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

Vì BE ⊥ CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN ⊥ MP

$\Rightarrow \hat{N M P} = 90 °$

Tam giác MNP có MN = MP và $\hat{N M P} = 90 °$

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

HOT Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh có đáp án chi tiết...lớp 1-12 form 2025

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 (cả 3 bộ sách):

TÀI LIỆU CLC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

+ Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi file word có đáp án 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đề thi giữa kì, cuối kì 10

( 254 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 10....

( 42 tài liệu )

Giáo án word 10

( 95 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...10

( 71 tài liệu )

Đề thi HSG 10

( 8 tài liệu )

Trắc nghiệm đúng sai 10

( 41 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.