Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có A^<90°. Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên AB+AC=2AM

AM=12AB+AC

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: DE=AEAD

AM.DE=12AB+ACAEAD

=12AB.AEAB.AD+AC.AEAC.AD

Mà AB AD nên AB.AD=0

Và AC AE nên AC.AE=0

Do đó AM.DE=12AB.AEAC.AD

Ta có:

AB.AE=AB.AE.cosBAE^

AC.AD=AC.AD.cosCAD^

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

BAE^=BAC^+CAE^=BAC^+90°

CAD^=BAC^+BAD^=BAC^+90°

BAE^=CAD^

Do đó AB.AE=AC.AD

AM.DE=12AB.AEAB.AE=0

AMDE

b) Ta có: BE=AEABCD=ADAC

BE.CD=AEAB.ADAC

=AE.ADAE.ACAB.AD+AB.AC

=AE.AD+AB.AC (do AB.AD=0AC.AE=0 )

Ta có:

AE.AD=AE.AD.cosDAE^

AB.AC=AB.AC.cosBAC^

• AB = AD và AC = AE

DAE^=360°DAB^BAC^CAE^

DAE^=360°90°BAC^90°

DAE^=180°BAC^

cosDAE^=cos180°BAC^=cosBAC^

AE.AD=AB.AC

BE.CD=AE.ADAB.AC=0

BECD

BE CD.

c) Ta có: BE2=BE2=AEAB2

=AE22.AE.AB+AB2

=AE2+AB22.AE.AB.cosEAB^

=AD2+AC22.AD.AC.cosCAD^

=AD2+AC22AD.AC

=ADAC2

=CD2=CD2

BE = CD (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

MN=12CD và MN // CD (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

MP=12BE và MP // BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

BE CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN MP

NMP^=90°

Tam giác MNP có MN = MP và NMP^=90°

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Quảng cáo


Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác
Tài liệu giáo viên