Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán 10 Tập 1

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A}<90°.$ Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Lời giải:

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}\right)$

Mà AB ⊥ AD nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

Và AC ⊥ AE nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}=0$

Do đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}\right)$

Ta có:

• $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}=AB.AE.cos\widehat{BAE}$

Và $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=AC.AD.cos\widehat{CAD}$

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

• $\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=\widehat{BAC}+90°$

Và $\widehat{CAD}=\widehat{BAC}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+90°$

$\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CAD}$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{DE}$

b) Ta có: $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ (do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$ và $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}=0$ )

Ta có:

• $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AD}=AE.AD.cos\widehat{DAE}$

Và $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}$

• AB = AD và AC = AE

• $\widehat{DAE}=360°-\widehat{DAB}-\widehat{BAC}-\widehat{CAE}$

$\Rightarrow \widehat{DAE}=360°-90°-\widehat{BAC}-90°$

$\Rightarrow \widehat{DAE}=180°-\widehat{BAC}$

$\Rightarrow cos\widehat{DAE}=cos\left(180°-\widehat{BAC}\right)=-cos\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{BE}\perp \overrightarrow{CD}$

$\Rightarrow$ BE ⊥ CD.

c) Ta có: $B{E}^2={\overrightarrow{BE}}^2={\left(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}\right)}^2$

$={\overrightarrow{AE}}^2-2.\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^2$

$=A{E}^2+A{B}^2-2.AE.AB.cos\widehat{EAB}$

$=A{D}^2+A{C}^2-2.AD.AC.cos\widehat{CAD}$

$={\overrightarrow{AD}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2-2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}$

$={\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)}^2$

$={\overrightarrow{CD}}^2=C{D}^2$

$\Rightarrow$ BE = CD (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}CD$ và MN // CD (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

$\Rightarrow MP=\frac{1}{2}BE$ và MP // BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

Vì BE ⊥ CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN ⊥ MP

$\Rightarrow \widehat{NMP}=90°$

Tam giác MNP có MN = MP và $\widehat{NMP}=90°$

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1 ....

• Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $BC=\sqrt{2}.$ ....

• Bài 4.32 trang 65 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ ....

• Bài 4.33 trang 65 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C ....

• Bài 4.34 trang 65 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)....

• Bài 4.35 trang 65 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD ....

• Bài 4.36 trang 66 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5) ....

• Bài 4.37 trang 66 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ....

• Bài 4.38 trang 66 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức

---