Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A} < 90 ° .$ Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{A E} - \vec{A D})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A C} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D})$

Mà AB ⊥ AD nên $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Và AC ⊥ AE nên $\vec{A C} . \vec{A E} = 0$

Do đó $\vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D})$

Ta có:

• $\vec{A B} . \vec{A E} = A B . A E . c o s \hat{B A E}$

Và $\vec{A C} . \vec{A D} = A C . A D . c o s \hat{C A D}$

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

• $\hat{B A E} = \hat{B A C} + \hat{C A E} = \hat{B A C} + 90 °$

Và $\hat{C A D} = \hat{B A C} + \hat{B A D} = \hat{B A C} + 90 °$

$\Rightarrow \hat{B A E} = \hat{C A D}$

Do đó $\vec{A B} . \vec{A E} = \vec{A C} . \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A B} . \vec{A E}) = 0$

$\Rightarrow \vec{A M} ⊥ \vec{D E}$

b) Ta có: $\vec{B E} = \vec{A E} - \vec{A B}$ và $\vec{C D} = \vec{A D} - \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{B E} . \vec{C D} = (\vec{A E} - \vec{A B}) . (\vec{A D} - \vec{A C})$

$= \vec{A E} . \vec{A D} - \vec{A E} . \vec{A C} - \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A B} . \vec{A C}$

$= \vec{A E} . \vec{A D} + \vec{A B} . \vec{A C}$ (do $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$ và $\vec{A C} . \vec{A E} = 0$ )

Ta có:

• $\vec{A E} . \vec{A D} = A E . A D . c o s \hat{D A E}$

Và $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

• AB = AD và AC = AE

• $\hat{D A E} = 360 ° - \hat{D A B} - \hat{B A C} - \hat{C A E}$

$\Rightarrow \hat{D A E} = 360 ° - 90 ° - \hat{B A C} - 90 °$

$\Rightarrow \hat{D A E} = 180 ° - \hat{B A C}$

$\Rightarrow c o s \hat{D A E} = c o s (180 ° - \hat{B A C}) = - c o s \hat{B A C}$

$\Rightarrow \vec{A E} . \vec{A D} = - \vec{A B} . \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{B E} . \vec{C D} = \vec{A E} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C} = 0$

$\Rightarrow \vec{B E} ⊥ \vec{C D}$

$\Rightarrow$ BE ⊥ CD.

c) Ta có: $B E^{2} = {\vec{B E}}^{2} = {(\vec{A E} - \vec{A B})}^{2}$

$= {\vec{A E}}^{2} - 2. \vec{A E} . \vec{A B} + {\vec{A B}}^{2}$

$= A E^{2} + A B^{2} - 2. A E . A B . c o s \hat{E A B}$

$= A D^{2} + A C^{2} - 2. A D . A C . c o s \hat{C A D}$

$= {\vec{A D}}^{2} + {\vec{A C}}^{2} - 2 \vec{A D} . \vec{A C}$

$= {(\vec{A D} - \vec{A C})}^{2}$

$= {\vec{C D}}^{2} = C D^{2}$

$\Rightarrow$ BE = CD (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} C D$ và MN // CD (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

$\Rightarrow M P = \frac{1}{2} B E$ và MP // BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

Vì BE ⊥ CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN ⊥ MP

$\Rightarrow \hat{N M P} = 90 °$

Tam giác MNP có MN = MP và $\hat{N M P} = 90 °$

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Săn SALE shopee tháng 6-6:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GIA SƯ DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Gia sư 1:1 bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

299,000đ

199,000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.