Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $BC=\sqrt{2}.$ Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Lời giải:

Vì AB ⊥ AD nên $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

Suy ra $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

Khi đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BM}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{0}-{\overrightarrow{a}}^2+\frac{1}{2}{\overrightarrow{b}}^2-\overrightarrow{0}$ (do $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$)

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BM}=0\iff \overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BM}$

$\Rightarrow$ AC ⊥ BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = 1 + ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$ = 3

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = AH.AC$\Rightarrow AH=\frac{A{B}^2}{AC}=\frac{1^2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}:\sqrt{3}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Khi đó $\overrightarrow{HC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{HA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Ta có $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AB}$ (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên $\overrightarrow{NA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{NB}=\frac{1}{2}.\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{AB}$

$=-\frac{1}{6}.\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{a}$

$=\frac{5}{6}\overrightarrow{a}-\frac{1}{6}\overrightarrow{b}$

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{NP}$$\Rightarrow \overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{HC}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{HC}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}.\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{5}{6}.\overrightarrow{b}$

Khi đó $\overrightarrow{NB}.\overrightarrow{NP}=\left(\frac{5}{6}\overrightarrow{a}-\frac{1}{6}\overrightarrow{b}\right).\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{5}{6}.\overrightarrow{b}\right)$

$=\frac{5}{18}{\overrightarrow{a}}^2+\frac{25}{36}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\frac{1}{18}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\frac{5}{36}{\overrightarrow{b}}^2$

$=\frac{5}{18}{\overrightarrow{a}}^2+\frac{25}{36}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\frac{1}{18}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\frac{5}{36}{\overrightarrow{b}}^2$

$=\frac{5}{18}{.1}^2-\frac{5}{36}.{\left(\sqrt{2}\right)}^2$

$=\frac{5}{18}-\frac{5}{36}.2=0$

Do đó $\overrightarrow{NB}.\overrightarrow{NP}=0\Rightarrow \overrightarrow{NB}\perp \overrightarrow{NP}$

$\Rightarrow NB\perp NP.$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1 ....

• Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A}<90°.$ ....

• Bài 4.32 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ ....

• Bài 4.33 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C ....

• Bài 4.34 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)....

• Bài 4.35 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD ....

• Bài 4.36 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5) ....

• Bài 4.37 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ....

• Bài 4.38 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---