Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-12 trên Shopee mall

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $B C = \sqrt{2} .$ Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Vì AB ⊥ AD nên $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b}$ (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{b}$

Suy ra $\vec{B M} = \vec{A M} - \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}$

Khi đó $\vec{A C} . \vec{B M} = (\vec{a} + \vec{b}) . (\frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a})$

$= \frac{1}{2} \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b}$

$= \frac{1}{2} \vec{0} - {\vec{a}}^{2} + \frac{1}{2} {\vec{b}}^{2} - \vec{0}$ (do $\vec{a} . \vec{b} = \vec{0}$ )

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Do đó $\vec{A C} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B M}$

$\Rightarrow$ AC ⊥ BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = 1 + ${(\sqrt{2})}^{2}$ = 3

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = AH.AC $\Rightarrow A H = \frac{A B^{2}}{A C} = \frac{1^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \frac{A H}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3} : \sqrt{3} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \vec{A H} = \frac{1}{3} \vec{A C}$

Khi đó $\vec{H C} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ và $\vec{H A} = - \frac{1}{3} \vec{A C}$

Ta có $\vec{N B} = \vec{N A} + \vec{A B}$ (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên $\vec{N A} = \frac{1}{2} \vec{H A}$

$\Rightarrow \vec{N B} = \frac{1}{2} . (- \frac{1}{3} \vec{A C}) + \vec{A B}$

$= - \frac{1}{6} . (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{a}$

$= \frac{5}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}$

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

$\vec{A D} + \vec{H C} = 2 \vec{N P}$ $\Rightarrow \vec{N P} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{H C})$

$\Rightarrow \vec{N P} = \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{H C}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} . \frac{2}{3} \vec{A C}$

$= \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{3} . (\vec{a} + \vec{b})$

$= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} . \vec{b}$

Khi đó $\vec{N B} . \vec{N P} = (\frac{5}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}) . (\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} . \vec{b})$

$= \frac{5}{18} {\vec{a}}^{2} + \frac{25}{36} \vec{a} . \vec{b} - \frac{1}{18} \vec{a} . \vec{b} - \frac{5}{36} {\vec{b}}^{2}$

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

$= \frac{5}{18} {.1}^{2} - \frac{5}{36} . {(\sqrt{2})}^{2}$

$= \frac{5}{18} - \frac{5}{36} .2 = 0$

Do đó $\vec{N B} . \vec{N P} = 0 \Rightarrow \vec{N B} ⊥ \vec{N P}$

$\Rightarrow N B ⊥ N P .$

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.