Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Bài 7.46 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$ .

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

D. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm

Vì S.ABCD là hình chóp đều, O là giao điểm của AC và BD nên SO $⊥$ (ABCD).

Kẻ OM $⊥$ BC tại M mà BC $⊥$ SO (do SO $⊥$ (ABCD)) nên BC $⊥$ (SOM).

Kẻ OH $⊥$ SM tại H mà OH $⊥$ BC (do BC $⊥$ (SOM)) nên OH $⊥$ (SBC).

Khi đó d(O, (SBC)) = OH.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông.

Xét tam giác ABC có OM // AB (vì cùng vuông góc với BC) mà O là trung điểm của AC nên M là trung điểm của BC, do đó OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM = $\frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của AC nên OC = $\frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOC vuông tại O có: SO = $\sqrt{S C^{2} - O C^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{2 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao, ta có

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O M^{2}}$ $= \frac{4}{2 a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{6}{a^{2}}$ $\Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{6}}{6}$ .