Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD), biết ABCD là hình vuông

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Kết nối tri thức

Bài 7.52 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA $⊥$ (ABCD), biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a $\sqrt{2}$ .

a) Chứng minh rằng (SAC) $⊥$ (SBD) và (SAD) $⊥$ (SCD).

b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh rằng (ACF) $⊥$ (SBC) và (AEF) $⊥$ (SAC).

c) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD), biết ABCD là hình vuông

a) Ta có ABCD là hình vuông nên AC $⊥$ BD. Mà SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ BD.

Do đó BD $⊥$ (SAC) mà BD $\subset$ (SBD) nên (SAC) $⊥$ (SBD).

Vì ABCD là hình vuông nên AD $⊥$ CD mà SA $⊥$ (ABCD) nên CD $⊥$ SA.

Do đó CD $⊥$ (SAD) mà CD $\subset$ (SCD) nên (SAD) $⊥$ (SCD).

b) Vì ABCD là hình vuông nên AD $⊥$ AB mà SA $⊥$ (ABCD) nên AD $⊥$ SA.

Do đó AD $⊥$ (SAB), suy ra AD $⊥$ SB.

Vì DF là đường cao của tam giác SBD nên SB $⊥$ DF mà AD $⊥$ SB do đó SB $⊥$ (ADF), suy ra SB $⊥$ AF.

Vì ABCD là hình vuông nên AB $⊥$ BC, mà SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ BC.

Do đó BC $⊥$ (SAB) nên BC $⊥$ AF.

Có SB $⊥$ AF và BC $⊥$ AF, do đó AF $⊥$ (SBC) mà AF $\subset$ (ACF) nên (ACF) $⊥$ (SBC).

Vì AF $⊥$ (SBC) nên AF $⊥$ SC.

Vì CD $⊥$ (SAD), suy ra CD $⊥$ AE.

Vì ABCD là hình vuông nên AD $⊥$ AB mà SA $⊥$ (ABCD) nên AB $⊥$ SA.

Vì AD $⊥$ AB và AB $⊥$ SA nên AB $⊥$ (SAD), suy ra AB $⊥$ SD.

Lại có BE là đường cao của tam giác SBD nên BE $⊥$ SD.

Vì AB $⊥$ SD và BE $⊥$ SD nên SD $⊥$ (ABE), suy ra SD $⊥$ AE.

Vì SD $⊥$ AE mà CD $⊥$ AE nên AE $⊥$ (SCD), suy ra AE $⊥$ SC mà AF $⊥$ SC.

Do đó SC $⊥$ (AEF) mà SC $\subset$ (SAC) nên (AEF) $⊥$ (SAC).

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, kẻ OH $⊥$ SC tại H.

Có AC $⊥$ BD và BD $⊥$ SA nên BD $⊥$ (SAC), suy ra OH $⊥$ BD.

Do đó OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC hay d(BD, SC) = OH.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Do ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC nên OC = $\frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SAC vuông tại A nên SC = $\sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + 2 a^{2}} = 2 a$

Xét $△$ CHO và $△$ CAS có góc C chung và $\hat{C H O} = \hat{C A S} = 90 °$ nên $△$ CHO đồng dạng với $△$ CAS, suy ra $\frac{O C}{C S} = \frac{O H}{A S}$ $\Rightarrow O H = \frac{O C \cdot A S}{C S}$ $= \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot a \sqrt{2}}{2 a}$ $= \frac{a}{2}$ .

Vậy d(BD, SC) = $\frac{a}{2}$ .

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Săn SALE shopee Tết:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.