Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Bài 7.53 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$ . Gọi SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC.

a) Chứng minh rằng (SMN) $\perp$ (ABCD).

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, AD, B].

c) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD.

Vì SM là đường cao của tam giác SAD nên AD $\perp$ SM.

Do ABCD là hình vuông nên AD // BC do đó BC $\perp$ SM, mà BC $\perp$ SN (do SN là đường cao của tam giác SBC) nên BC $\perp$ (SMN).

Lại có BC $\subset$ (ABCD) nên (SMN) $\perp$ (ABCD).

b) Vì các tam giác SAD, SBC là các tam giác cân, SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC nên M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

Vì MN đi qua O nên OM $\perp$ AD mà SM $\perp$ AD nên [S, AD, B] = $\widehat{SMO}$ .

ABCD là hình vuông cạnh a nên MN = a, OM = ON = $\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Mà O là trung điểm của AC nên OA = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $\perp$ (ABCD).

Xét tam giác SAO vuông tại O, có SO = $\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác SOM vuông tại O, SM = $\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=a$ .

Tương tự, SN = a. Suy ra SM = SN = MN = a.

Do đó tam giác SMN là tam giác đều. Suy ra $\widehat{SMN}$ = 60^o.

Vậy góc nhị diện [S, AD, B] bằng 60°.

c) $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

• Bài 7.41 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) ....

• Bài 7.42 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a ....

• Bài 7.43 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng ....

• Bài 7.44 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng ....

• Bài 7.45 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng ....

• Bài 7.46 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD ....

• Bài 7.47 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng ....

• Bài 7.48 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB' bằng ....

• Bài 7.49 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Thể tích khối tứ diện ABC'D' bằng ....

• Bài 7.50 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi M là trung điểm của AA'. Tỉ số của thể tích khối chóp M.ABCD và khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng ....

• Bài 7.51 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SC = a$\sqrt{2}$ . Gọi H là trung điểm của cạnh AB ....

• Bài 7.52 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA $\perp$ (ABCD), biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a$\sqrt{2}$ ....

• Bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=60°$ , AB = 2a, AC = 3a và số đo của góc nhị diện [A', BC, A] bằng 45° ....

• Bài 7.55 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD ....

• Bài 7.56 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' được đặt trên một mái nhà nghiêng so với mặt đất nằm ngang góc 10°, AB = 1 m, AD = 1,5 m, AA' = 1 m ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• SBT Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

• SBT Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---