Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Bài 7.55 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.

a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A'B'D'.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A'B.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

a) Ta có $S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} = a^{2}$ mà ABCD và A'B'C'D' là hình vuông nên $S_{A^{'} B^{'} D^{'}} = S_{A B D}$ $= \frac{1}{2} S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{a^{2}}{2}$ .

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A D} = \frac{1}{2}$ .

Xét $△$ AMN và $△$ ABD có góc A chung và $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A D}$ nên $△$ AMN đồng dạng với $△$ ABD.

Suy ra $\frac{S_{A M N}}{S_{A B D}} = {(\frac{A M}{A B})}^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow S_{A M N} = \frac{1}{4} S_{A B D} = \frac{a^{2}}{8}$ .

(Ngoài cách trên, ta có thể tính được AM = AN = $\frac{a}{2}$ , suy ra $S_{A M N} = \frac{1}{2}$ .AM.AN = $\frac{a^{2}}{8}$ )

Khi đó $V_{A M N . A^{'} B^{'} D^{'}} = \frac{1}{3} \cdot A A^{'} \cdot (S_{A M N} + S_{A^{'} B^{'} D^{'}} + \sqrt{S_{A M N} \cdot S_{A^{'} B^{'} D^{'}}})$

$= \frac{1}{3} \cdot a \cdot (\frac{a^{2}}{8} + \frac{a^{2}}{2} + \sqrt{\frac{a^{2}}{8} \cdot \frac{a^{2}}{2}}) = \frac{7 a^{3}}{24}$ .

b) Xét tam giác ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó MN // BD. Suy ra MN // (A'BD).

Do đó d(MN, A'B) = d(MN, (A'BD)) = d(M, (A'BD)).

Vì M là trung điểm của AB nên d(M,(A'BD)) = $\frac{1}{2}$ d(A,(A'BD)).

Đặt h = d(A, (A'BD)).

Áp dụng kết quả bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 tập 2, ta có:

$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A {A^{'}}^{2}}$ $= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{3}{a^{2}}$ $\Rightarrow h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .