Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Bài 7.51 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SC = a $\sqrt{2}$ . Gọi H là trung điểm của cạnh AB.

a) Chứng minh rằng SH $⊥$ (ABCD).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

c) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều

a) ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a.

Do tam giác SAB đều cạnh a và H là trung điểm của AB nên SH $⊥$ AB và SH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ ; AH = BH = $\frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác BHC vuông tại B có HC = $\sqrt{B C^{2} + B H^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Có $S C^{2} = {(a \sqrt{2})}^{2} = 2 a^{2}$ ; $S H^{2} + H C^{2} = {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2} = 2 a^{2}$ .

Suy ra SC² = SH² + HC². Do đó tam giác SHC vuông tại H hay SH $⊥$ HC mà SH $⊥$ AB nên SH $⊥$ (ABCD).

b) Ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S H = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

c) Vì H là trung điểm của AB nên d(A, (SBD)) = 2 . d(H, (SBD)).

Kẻ HK $⊥$ BD tại K, HQ $⊥$ SK tại Q.

Ta có SH $⊥$ (ABCD) nên SH $⊥$ BD mà HK $⊥$ BD nên BD $⊥$ (SHK), suy ra BD $⊥$ HQ.

Vì BD $⊥$ HQ và HQ $⊥$ SK nên HQ $⊥$ (SBD), suy ra d(H, (SBD)) = HQ.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD, suy ra AO = $\frac{A C}{2}$ .

Xét tam giác ABO có HK là đường trung bình nên HK = $\frac{A O}{2} = \frac{A C}{4} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

Xét tam giác SHK vuông tại H, HQ là đường cao, ta có

$\frac{1}{H Q^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H K^{2}}$ $= \frac{4}{3 a^{2}} + \frac{16}{2 a^{2}} = \frac{28}{3 a^{2}}$ $\Rightarrow H Q = \frac{a \sqrt{21}}{14}$ .