Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có góc BAC = 60 độ

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=60°$ , AB = 2a, AC = 3a và số đo của góc nhị diện [A', BC, A] bằng 45°.

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Lời giải:

a) Kẻ AH $\perp$ BC tại H.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên A'A $\perp$ (ABC), suy ra A'A $\perp$ BC mà AH $\perp$ BC nên BC $\perp$ (A'AH).

Kẻ AK $\perp$ A'H tại K, lại có BC $\perp$ AK (do BC $\perp$ (A'AH)) nên AK $\perp$ (A'CB).

Do đó d(A, (A'BC)) = AK.

Có BC $\perp$ (A'AH) nên BC $\perp$ A'H mà AH $\perp$ BC nên góc nhị diện [A', BC, A] bằng $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}$ , suy ra $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}=45°$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, có

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$- 2.AB.AC.cos$\widehat{BAC}$ = 4a²+9a²-2.2a.3a.cos60^o = 7a².

$\Rightarrow$BC = a$\sqrt{7}$.

Vì $S_{ABC}=\frac{AH\cdot BC}{2}$$\Rightarrow AH=\frac{S_{ABC}\cdot 2}{BC}$ $=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}}{BC}$

$=\frac{2a.3a.\sin {60}^o}{a\sqrt{7}}$ = $\frac{3\sqrt{21}}{7}a$.

Xét tam giác AHK vuông tại K, có AK = AH . sin45° = $\frac{3\sqrt{21}a}{7}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{42}a}{14}$ .

Vậy d(A, (A'BC)) = $\frac{3\sqrt{42}a}{14}$ .

b) Vì tam giác A'AH vuông tại A, $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}=45°$ nên tam giác A'AH vuông cân tại A nên AA' = AH = $\frac{3\sqrt{21}}{7}a$.

Ta có: $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}\cdot$AA' = $\frac{1}{2}$.AB.AC.sin$\widehat{BAC}$.AA'

= $\frac{1}{2}$.2a.3a.sin60^o.$\frac{3\sqrt{21}a}{7}$= $\frac{27\sqrt{7}{a}^3}{14}$.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

• Bài 7.41 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) ....

• Bài 7.42 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a ....

• Bài 7.43 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng ....

• Bài 7.44 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng ....

• Bài 7.45 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng ....

• Bài 7.46 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD ....

• Bài 7.47 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng ....

• Bài 7.48 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB' bằng ....

• Bài 7.49 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Thể tích khối tứ diện ABC'D' bằng ....

• Bài 7.50 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi M là trung điểm của AA'. Tỉ số của thể tích khối chóp M.ABCD và khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng ....

• Bài 7.51 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SC = a$\sqrt{2}$ . Gọi H là trung điểm của cạnh AB ....

• Bài 7.52 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA $\perp$ (ABCD), biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a$\sqrt{2}$ ....

• Bài 7.53 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$ . Gọi SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC ....

• Bài 7.55 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD ....

• Bài 7.56 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' được đặt trên một mái nhà nghiêng so với mặt đất nằm ngang góc 10°, AB = 1 m, AD = 1,5 m, AA' = 1 m ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• SBT Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

• SBT Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---