Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong mỗi trường hợp sau

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 2: Phương trình đường thẳng

Bài 35 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong mỗi trường hợp sau:

Quảng cáo

a) ∆₁: $\frac{x + 7}{5} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 2}{- 2}$ và ∆₂: $\{\begin{cases} x = - 5 - 3 t \\ y = - 10 - 4 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases}$ (t là tham số);

b) ∆₁: $\{\begin{cases} x = - 2 + 5 t \\ y = 1 - t \\ z = 3 t \end{cases}$ (t là tham số) và ∆₂: $\frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 1}{- 6};$

c) ∆₁: $\frac{x}{3} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 1}{- 3}$ và ∆₂: $\frac{x - 1}{- 6} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 1}{6} .$

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm M₁(−7; 1; −2) và có $\vec{u_{1}}$ = (5; −7; −2) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M₂(−5; −10; 3) và có $\vec{u_{2}}$ = (−3; −4; 7) là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\frac{5}{- 3} \neq \frac{- 7}{- 4}$ , suy ra $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương;

$\vec{M_{1} M_{2}}$ = (2; −11; 5),

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}]$ = $(|\begin{matrix} - 7 & - 2 \\ - 4 & 7 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 5 \\ 7 & - 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 5 & - 7 \\ - 3 & - 4 \end{matrix}|)$ = (−57; −29; −41).

Do $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}}$ = −57.2 + (−29).(−11) + (−41).5 = 0 nên $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ , $\vec{M_{1} M_{2}}$ đồng phẳng.

Vậy ∆₁, ∆₂ cắt nhau.

b) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm M₁(−2; 1; 0) và có $\vec{u_{1}}$ = (5; −1; 3) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M₂(−2; 1; 1) và có $\vec{u_{2}}$ = (4; 5; −6) là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\frac{5}{4} \neq \frac{- 1}{5}$ suy ra $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương;

$\vec{M_{1} M_{2}}$ = (0; 0; 1),

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] =$ $(|\begin{matrix} - 1 & 3 \\ 5 & - 6 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 6 & 4 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 5 & - 1 \\ 4 & 5 \end{matrix}|)$ =(−9; 42; 29).

Do $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}}$ = −9.0 + 42.0 + 29.1 = 29 ≠ 0 nên $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ , $\vec{M_{1} M_{2}}$ không đồng phẳng.