Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 7 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng – ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; −4; 3), N(−5; −2; 2).

Quảng cáo

a) Tính độ dài các đoạn dây cáp MA và NA.

b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp MA, NA với mặt phẳng sườn đồi.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{M A} = (- 3; 4; 3), \vec{N A} = (5; 2; 4)$ suy ra

MA = $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}}$ = ≈ 5,8 (m),

NA = $\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{45}$ ≈ 6,7 (m).

b) Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{O M} = (3; - 4; 3), \vec{O N} = (- 5 - 2; 2)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{O M}, \vec{O N}] = (|\begin{matrix} - 4 & 3 \\ - 2 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & 3 \\ 2 & - 5 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{matrix}|)$

= (−2; −21; −26).

Gọi α, β lần lượt là góc tạo bởi MA, NA với mặt phẳng (AMN).

Ta có: sinα = $\frac{|\vec{M A} . \vec{n}|}{|\vec{M A}| . |\vec{n}|} = \frac{|- 3. (- 2) + 4. (- 21) + 3. (- 26)|}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 21)}^{2} + {(- 26)}^{2}}}$

= $\frac{156}{\sqrt{38114}}$

⇒ α ≈ 53°;

Sinβ = $\frac{|\vec{N A} . \vec{n}|}{|\vec{N A}| . |\vec{n}|} = \frac{|5. (- 2) + 2. (- 21) + 4. (- 26)|}{\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 4^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 21)}^{2} + {(- 26)}^{2}}}$

$= \frac{156}{\sqrt{50445}}$

⇒ β ≈ 44°.

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official