Tính góc α trong mỗi trường hợp sau trang 55 SBT Toán 12 Tập 2

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 5 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc α trong mỗi trường hợp sau:

Quảng cáo

a) α là góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (1; 1; - 1)$ và $\vec{b} = (5; 2; 7)$

b) α là góc giữa hai đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - \sqrt{3} t \\ z = 5 \end{cases}$ và d': $\{\begin{cases} x = 1 - \sqrt{3} t^{'} \\ y = 7 + t^{'} \\ z = 9 \end{cases}$

c) α là góc giữa hai mặt phẳng (P): 4x + 2y – z + 9 = 0 và (Q): x + y + 6z – 11 =0;

d) α là góc giữa đường thẳng d: $\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): x + y − z + 99 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: cosα = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{1.5 + 1.2 - 1.7}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{5^{2} + 2^{2} + 7^{2}}} = 0$ ⇒ α = 90°.

b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' lần lượt là $\vec{a} = (1; - \sqrt{3}; 0)$ và $\vec{a^{'}} = (- \sqrt{3}; 1; 0)$

Khi đó, cosα = $\frac{|\vec{a} . \vec{a^{'}}|}{|\vec{a}| . |\vec{a^{'}}|} = \frac{|1. (- \sqrt{3}) + (- \sqrt{3}) .2 + 0.0|}{\sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} + 0^{2}} . \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ α = 30°.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là $\vec{n} = (4; 2; - 1), \vec{n^{'}} = (1; 1; 6)$

Khi đó cosα = $\frac{\vec{n} . \vec{n^{'}}}{|\vec{n}| . |\vec{n^{'}}|} = \frac{|4.1 + 2.1 - 1.6|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 6^{2}}} = 0$ ⇒ α = 90°.

d) Ta có vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) lần lượt là $\vec{a} = (2; - 1; 1), \vec{n} = (1; 1; - 1)$

Khi đó sinα = $\frac{|\vec{n} . \vec{a}|}{|\vec{n}| . |\vec{a}|} = \frac{|2.1 - 1.1 + 1. (- 1)|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 0$ ⇒ α = 0°.