Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 6 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Quảng cáo

a) Tính góc α giữa hai đường thẳng SD và BC;

b) Tính góc β giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S

Gọi O là trung điểm của AB, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ trục Oxyz như hình bên.

Ta có: S(0; 0; 6), A(2; 0; 0), B(−2; 0; 0), C(−2; 4; 0), D(2; 4; 0).

a) Ta có: $\vec{S D} = (2; 4; - 6), \vec{B C} = (0; 4; 0)$

Suy ra cosα = $\frac{|\vec{S D} . \vec{B C}|}{|\vec{S D}| . |\vec{B C}|} = \frac{|2.0 + 4.4 - 6.0|}{\sqrt{2^{2} + 4^{2} + {(- 6)}^{2}} . \sqrt{0^{2} + 4^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$ ⇒ α ≈ 57,7°.

b) Mặt phẳng (SAD) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{S D} = (2; 4; - 6)$ , $\vec{S A} = (2; 0; - 6)$

Ta có: $[\vec{S D}, \vec{S A}] = (|\begin{matrix} 4 & - 6 \\ 0 & - 6 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 6 & 2 \\ - 6 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 4 \\ 2 & 0 \end{matrix}|)$ = (−24; 0; −8) = −8(3; 0; 1).

Vậy $\vec{n} = (3; 0; 1)$ là vectơ pháp tuyến của (SAD).

Mặt phẳng (SCD) có cặp vectơ chỉ phương là: $\vec{D C} = (- 4; 0; 0)$ , $\vec{S D} = (2; 4; - 6)$

Ta có: $[\vec{S D}, \vec{D C}] = (|\begin{matrix} 4 & - 6 \\ 0 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 6 & 2 \\ 0 & - 4 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 4 & 0 \end{matrix}|)$ = (0; 24; 16) = 8(0; 3; 2).

Vậy $\vec{n^{'}} = (0; 3; 2)$

Suy ra cosβ = $\frac{\vec{n} . \vec{n^{'}}}{|\vec{n}| . |\vec{n^{'}}|} = \frac{|3.0 + 0.3 + 1.2|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + 1^{2}} . \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{130}}$ ⇒ β ≈ 79,9°.

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official