Xét phương trình tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 4 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Xét phương trình tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau:

Quảng cáo

a) d: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 1 - t \end{cases}$ và d': $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t^{'} \\ y = 7 + 6 t^{'} \\ z = - 1 - 2 t^{'} \end{cases}$

b) d: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}$ và d': $\frac{x}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}$

c) d: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}$ và d': $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{1}$

d) d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ và d': $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \\ z = 7 \end{cases}$

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 1) và nhận $\vec{a}$ = (1; 3; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d' đi qua điểm M'(2; 7; −1) và nhận $\vec{a^{'}}$ = (2; 6; −2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{M M^{'}} = (2; 6; - 2) \\ \vec{a^{'}} = 2 \vec{a} = \vec{M M^{'}} \end{cases}$ , suy ra $\vec{a}, \vec{a^{'}}, \vec{M M^{'}}$ cùng phương.

Do đó d ≡ d'.

b) Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0; 0) và nhận $\vec{a}$ = (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d' đi qua điểm M'(0; 0; 0) và nhận $\vec{a^{'}}$ = (4; 6; 2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{M M^{'}} = (- 2; 0; 0) \\ \vec{a^{'}} = 2 \vec{a} \\ [\vec{a}, \vec{M M^{'}}] = (|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 3 \\ 2 & 0 \end{matrix}|) = (0; 2; - 6) \neq \vec{0.} \end{cases}$

Do đó d ∥ d'.

c) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 2) và nhận $\vec{a}$ = (1; 1; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d' đi qua điểm M'(2; 2; 1) và nhận $\vec{a^{'}}$ = (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{M M^{'}} = (1; 0; 5) \\ [\vec{a}, \vec{a^{'}}] = (- 1; 0; 2) \neq \vec{0} \\ [\vec{a}, \vec{a^{'}}] \vec{M M^{'}} = 0. \end{cases}$