Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 87 trang 94 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.

Khi đó IM = IN = IP.

+) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

• Xét ∆AIP và ∆AIN có:

API^=AQI^ (cùng bằng 90°),

AI là cạnh chung,

IP = IN (chứng minh trên)

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và PAI^=NAI^(hai góc tương ứng).

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.

BAC^=60°(do tam giác ABC đều).

Nên PAI^=NAI^=30°.

Xét tam giác API vuông tại P có: PAI^+PIA^=90°(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra PIA^=90°PAI^=90°30°=60°

Chứng minh tương tự ta có: PIB^=60°.

Xét ∆PIA và ∆PIB có:

API^=BPI^=90°,

PI là cạnh chung,

PIA^=PIB^(cùng bằng 60°)

Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)

• Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.

Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

+) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.

• Ta có ∆PIA = ∆PIB (chứng minh trên)

Suy ra PA = PB (hai cạnh tương ứng).

Do đó P là trung điểm của AB và điểm P cũng thuộc đường trung trực của AB.

Lại có IA = IB nên điểm I thuộc đường trung trực của AB.

CA = CB (do ∆ABC đều) nên điểm C thuộc đường trung trực của AB.

Do đó ba điểm P, I, C thẳng hàng.

Khi đó CP là đường trung truyến của tam giác ABC.

• Chứng minh tương tự ta cũng có AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP đều đi qua điểm I.

Do đó I là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 7

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Giải SBT Toán 7 được biên soạn bám sát Sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều (NXB Đại học Sư phạm).

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác
Tài liệu giáo viên