Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C

Siêu sale sách 11-11 Shopee

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 91 trang 95 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C. Vẽ BH và CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).

a) Chứng minh ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

b) Tính số đo các góc của tam giác MKH.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C

a) • Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

$\hat{B A M} = \hat{C A M}$ (do AM là tia phân giác của góc BAC),

AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)

Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).

• Ta có AM là tia phân giác của góc BAC nên:

$\hat{B A M} = \hat{C A M} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .90 ° = 45 °$

Lại có $\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{B A C} = 180 °$ (tổng ba góc trong tam giác ABC)

Mà $\hat{B A C} = 90 °$ và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (do ∆ABC cân tại A)

Nên $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = \frac{180 ° - 90 °}{2} = 45 °$

Xét ∆ABM có $\hat{M B A} = \hat{M A B}$ (cùng bằng 45°) nên tam giác ABM cân tại M.

Suy ra MA = MB

Mà MB = MC nên MA = MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)

•Trong tam giác ABH vuông tại H có ${\hat{B}}_{1} + \hat{B A H} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên ${\hat{B}}_{1} = 90 ° - \hat{B A H}$

Mà ${\hat{A}}_{1} = \hat{B A C} - \hat{B A H} = 90 ° - \hat{B A H}$

Suy ra ${\hat{B}}_{1} = {\hat{A}}_{1}$

Xét ∆BAH và ∆ACK có:

$\hat{B H A} = \hat{A K C} (= 90 °)$ ,

${\hat{B}}_{1} = {\hat{A}}_{1}$ (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh ở câu a),

Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh huyển – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và $\hat{B A H} = \hat{A C K}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\hat{B A H} = \hat{B A M} + \hat{M A H} = 45 ° + \hat{M A H}$

$\hat{A C K} = \hat{A C M} + \hat{M C K} = 45 ° + \hat{M C K}$

Mà $\hat{B A H} = \hat{A C K}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\hat{M A H} = \hat{M C K}$ .

Xét ∆AMH và ∆CMK có:

AH = CK (chứng minh trên),

$\hat{M A H} = \hat{M C K}$ (chứng minh trên),

AM = AM (chứng minh ở câu a)

Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c)

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.

Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

b) • Ta có $\hat{A M H} = \hat{C M K}$ (hai góc tương ứng của ∆AMH = ∆CMK).

Mà $\hat{H M K} = \hat{H M C} + \hat{C M K}$

Do đó $\hat{H M K} = \hat{H M C} + \hat{A M H} = \hat{A M C} = 90 °$ nên tam giác MHK vuông tại H.

• Ta có MH = MK nên tam giác MHK cân tại M.

Suy ra $\hat{M H K} = \hat{M K H}$ .

•Trong tam giác MHK vuông tại H có $\hat{M H K} + \hat{M K H} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\hat{M H K} = \hat{M K H}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\hat{M H K} = \hat{M K H} = \frac{90 °}{2} = 45 °$

Vậy ∆MKH có $\hat{M H K} = \hat{M K H} = 45 °, \hat{H M K} = 90 °$ .

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 7

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.