Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 trong Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 71.

Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 Cánh diều

Bài 1 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 3,5; AC = 7,5; $\widehat{A}=135°$. Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC sinA = (3,5)² + (7,5)² – 2 . 3,5 . 7,5 . sin135° ≈ 31,4

Suy ra BC ≈ 5,6. 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: 

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{5,6}{2\sin 135°}\approx 4$

Vậy R = 4 và BC ≈ 5,6.

Bài 2 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=75°,\widehat{C}=45°$ và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.

Lời giải:

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180°-\left(75°+45°\right)=60°$. 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: 

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

Do đó: 

$AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{50.\sin 45°}{\sin 60°}=\frac{50\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $AB=\frac{50\sqrt{6}}{3}$.

Bài 3 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7, BC = 8. Tính cosA, sinA và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}$ $=\frac{6^2+7^2-8^2}{\mathrm{2.6.7}}=\frac{1}{4}$> 0.

Do đó góc A nhọn nên ta có: sin²A + cos²A = 1. 

Suy ra sin²A = 1 – cos²A =$1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{15}{16}$

Do đó: $\sin A=\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: 

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{8}{2.\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{16\sqrt{15}}{15}$

Vậy $\cos A=\frac{1}{4};\sin A=\frac{\sqrt{15}}{4};R=\frac{16\sqrt{15}}{15}.$

Chú ý: Nếu không nhớ công thức sin²A + cos²A = 1 (đã học ở lớp 9), ta có thể tính góc A khi biết cosA để từ đó suy ra sinA. 

Bài 4 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°;

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°;

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°;   

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°;

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°.  

Lời giải:

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°

        = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos (180° – 40°)

        = cos 0° + cos 40° + cos 120° – cos 40°  

        = cos 0° + cos 120°

        = 1 + $\left(-\frac{1}{2}\right)$(giá trị lượng giác của góc đặc biệt)

        =$\frac{1}{2}.$

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°

        = sin 5° + sin 150° – sin (180° – 5°) + sin 180°

        = sin 5° + sin 150° – sin 5° + sin 180°

        = sin 150° + sin 180°

        = $\frac{1}{2}+0$ (giá trị lượng giác của các góc đặc biệt)

        = $\frac{1}{2}.$

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°   

        = cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°)  

        = cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35°      (giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau)

        = 0. 

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°

        = tan (90° – 65°) . tan 45° . tan (180° – 65°) 

        = cot 65° . tan 45° . (– tan 65°)

        = – (cot 65° . tan 65°) . tan 45°

        = $-\left(\frac{cos65°}{\sin 65°}.\frac{\sin 65°}{cos65°}\right).\tan 45°$

        = (– 1) . 1 = – 1. 

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°

       = cot (90° – 80°) . cot 30° . cot (180° – 80°)

     = tan 80° . cot 30° . (– cot 80°)

     = – (tan 80° . cot 80°) . cot 30°

     = (– 1) .$\sqrt{3}$ = $-\sqrt{3}$. 

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\sin \frac{A}{2}=cos\frac{B+C}{2}$; 

b) $\tan \frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2}$.

Lời giải:

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$ hay $\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90°\Rightarrow \frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90°-\frac{\widehat{A}}{2}$.

Áp dụng giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau ta có: 

$\sin \frac{A}{2}=cos\left(90°-\frac{A}{2}\right)=cos\frac{B+C}{2}$(đpcm câu a)

$\cot \frac{A}{2}=\tan \left(90°-\frac{A}{2}\right)=\tan \frac{B+C}{2}$(đpcm câu b).

Bài 6 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m,$\widehat{BAC}=59,95°,\widehat{BAC}=82,15°$ (Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác. 

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{B}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=180°-\left(59,95°+82,15°\right)=37,9°$. 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

Do đó: $AB=\frac{AC\sin C}{\sin B}=\frac{25.\sin 82,15°}{\sin 37,9°}\approx 40$(m). 

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B khoảng 40 m. 

Bài 7 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hướng tạo với nhau góc 75°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ nhất chạy được  8 . 2,5 = 20 (hải lí). 

Tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ hai chạy được 12 . 2,5 = 30 (hải lí). 

Hai tàu cùng chạy từ bến A và đi thẳng về 2 vùng biển khác nhau theo hướng tạo với nhau góc 75°, giả sử tàu thứ nhất chạy về vùng biển B và tàu thứ hai chạy về vùng biển C, ta có hình vẽ mô phỏng như sau: 

Khi đó khoảng cách giữa hai tàu sau 2,5 giờ chính là khoảng cách giữa B và C. 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

BC² = AB² + AC² – 2AB. AC. cos A = 20² + 30² – 2 . 20 . 30 . cos 75° ≈ 989,4

Suy ra: BC ≈ 31,5 (hải lí).

Vậy sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là 31,5 hải lí. 

Bài 8 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là α = 35°; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là β = 75°; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Ta đặt tên các điểm như trên hình vẽ dưới: 

Ta có: AI là khoảng cách từ đỉnh của tòa nhà tới mắt bạn A nên AI = 1,5 m.

BE là khoảng cách từ mặt đất tới mắt của bạn B nên BE = 1,5 m. 

Lại có: h = IB + BE ⇒ IB = h – BE = 20 – 1,5 = 18,5 (m).

Và AB = AI + IB = 1,5 + 18,5 = 20 (m). 

Ta có:$\widehat{CAB}=\alpha +90°=35°+90°=125°$; $\widehat{ABC}=90°-\beta =90°-75°=15°$

Tam giác ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{CAB}+\widehat{ACB}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{ABC}+\widehat{CAB}\right)=180°-\left(15°+125°\right)=40°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{BC}{\sin \widehat{CAB}}$

Do đó: $BC=\frac{AB.\sin \widehat{CAB}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{20.\sin 125°}{\sin 40°}\approx 25,5$.

Tam giác CBH vuông tại H nên $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}$

⇒ CH = BC . sin β = 25,5 . sin 75° ≈ 24,6.

Lại có HK = BE = 1,5 m.

Do đó CK = CH + HK = 24,6 + 1,5 = 26,1 (m). 

Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác hay khác:

• Giải Toán 10 trang 62 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 63 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 64 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 66 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 67 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 68 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 69 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 70 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

• Bài 3: Khái niệm vectơ

• Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Bài 5: Tích của một số với một vectơ

• Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---