Lập phương trình chính tắc của elip (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Lập phương trình chính tắc của elip lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lập phương trình chính tắc của elip.

Lập phương trình chính tắc của elip (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Từ các dữ liệu đề bài cho ta xác định được các yếu tố cơ bản của elip:

⦁ Tiêu điểm F₁(–c; 0) và F₂(c; 0).

⦁ Tiêu cự F₁F₂ = 2c.

…

Từ đó xác định được a, b để viết phương trình chính tắc của elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(0; –4) và có một tiêu điểm F₂(3; 0).

Hướng dẫn giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Vì elip đi qua điểm A(0; –4) nên ta có: $\frac{0^2}{a^2}+\frac{{\left(-4\right)}^2}{b^2}=1$ hay $\frac{16}{b^2}=\mathrm{1,}$ suy ra b² = 16.

Vì elip có một tiêu điểm F₂(3; 0) nên ta có c = 3.

Mà c² = a² – b² nên a² = b² + c² = 16 + 3² = 16 + 9 = 25.

Vậy elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của elip có tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì đến hai tiêu điểm bằng 10 và có tiêu cự bằng $2\sqrt{5}.$

Hướng dẫn giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Do tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì đến hai tiêu điểm của elip bằng 10 nên ta có 2a = 10, suy ra a = 5.

Do elip có tiêu cự bằng $2\sqrt{5}$ nên $2c=2\sqrt{5},$ suy ra $c=\sqrt{5}.$

Ta có c² = a² – b² nên b² = a² – c² = 5² – 5 = 20.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip đi qua điểm (5; 0) và có tiêu cự bằng $2\sqrt{5}$ là

A. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$;

B. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$;

C. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{5}=1$

D. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}=1$.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một elip có một tiêu điểm $F_1\left(-\sqrt{3};0\right)$ và đi qua điểm $A\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ có phương trình chính tắc là

A. $\frac{x^2}{4}+y^2=1$;

B. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$;

C. $\frac{x^2}{4}-y^2=1$;

D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm N(0; 1) và $M\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ là

A. $\frac{x^2}{4}+y^2=1$;

B. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$;

C. $\frac{x^2}{4}-y^2=1$;

D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một elip đi qua điểm $M\left(0;\sqrt{32}\right)$ và có một giao điểm với trục Ox là A₁(6; 0). Phương trình của elip đó là

A. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$;

B. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$;

C. $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{4}=1$;

D. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=0$.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip đi qua M(0; 3) và tổng khoảng cách từ một điểm trên elip tới hai tiêu điểm là $2\sqrt{34}$ là

A. $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$;

B. $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{9}=1$;

C. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{34}=1$;

D. $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{9}=0$.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip có hai tiêu điểm F₁(–1; 0); F₂(1; 0) và tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 10 có phương trình là

A. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{24}=1$;

B. $\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{25}=1$;

C. $\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{25}=0$;

D. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{34}=1$.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của elip có một đỉnh A₁(–5; 0) và một tiêu điểm F₂(2; 0) là

A. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1$;

B. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$;

C. $\frac{x^2}{29}+\frac{y^2}{25}=1$;

D. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{29}=1$.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0). Biết tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm gấp đôi độ dài trục bé (2b) và có tiêu cự bằng  $4\sqrt{3}.$ Phương trình chính tắc của elip đó là

A. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$

B. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1.$

C. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{24}=1.$

D. $\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{16}=1.$

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip đi qua điểm $A\left(2;\sqrt{3}\right)$ và có tỉ số của tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm với tiêu cự bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}.$ Phương trình chính tắc của elip là

A. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$

B. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$

C. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1.$

D. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1.$

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có hai tiêu điểm F₁, F₂. Biết elip đi qua điểm $M\left(\frac{3\sqrt{5}}{5};-\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$ và tam giác MF₁F₂ vuông tại M. Khi đó phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Tổng S = a² + b² là

A. 13;

B. 11;

C. 10;

D. 9.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Lập phương trình chính tắc của hypebol

• Lập phương trình chính tắc của parabol

• Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế

• Quy tắc đếm liên quan đến số tự nhiên

• Quy tắc đếm liên quan đến thực tế

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---