Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước.

Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải.

Xét hàm số bậc hai: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Biệt thức ∆ = b² – 4ac.

- Khi a > 0, hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$ tại $x=\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left[\frac{-\Delta }{4a};+\infty \right)$.

- Khi a < 0, hàm số bậc hai đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$ tại $x=\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left[-\infty ;\frac{-\Delta }{4a}\right)$.

Khi đó, với hàm số được cho dưới dạng chứa tham số m, ta tính giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) $\frac{-\Delta }{4a}$ theo tham số m, rồi cho bằng giá trị của đề bài yêu cầu, từ đó suy ra giá trị của m.

2. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x² + x + m. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = 2x² + x + m có:

$\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{2.2}=\frac{-1}{4}$

$\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}=\frac{-(1^2-\mathrm{4.2.}m)}{4.2}=\frac{-1+8m}{8}=\frac{-1}{8}+m$

Ta có, a = 2 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là $-\frac{1}{8}+m$ tại $x=-\frac{1}{4}$

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi và chỉ khi $-\frac{1}{8}+m=5\iff m=\frac{41}{8}$

Vậy $m=\frac{41}{8}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = –x² + 5x + m. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 12.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = –x² + 5x + m có:

$\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2.\left(-1\right)}=\frac{5}{2}$

$\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}=\frac{-(5^2-4.(-1).m)}{4.(-1)}=\frac{-25-4m}{-4}=\frac{25}{4}+m$

Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là $\frac{25}{4}+m$ tại $x=\frac{5}{2}$.

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 12 khi và chỉ khi $\frac{25}{4}+m=12\iff m=\frac{23}{4}$

Vậy $m=\frac{23}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho hàm số y = x² – 3x + m. Giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 là:

A. $m=\frac{57}{4}$;

B. $m=-\frac{23}{4}$;

C. $m=\frac{25}{4}$;

D. $m=-\frac{22}{4}$.

Bài 2. Cho hàm số y = –x² + 6x – m. Giá trị của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 6 là:

A. m = 3;

B. m = 1;

C. m = –1;

D. m = –3.

Bài 3. Cho hàm số y = –2x² + 4x – 3m. Giá trị của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 10 là:

A. m = $\frac{8}{3}$;

B. m = –$\frac{8}{3}$;

C. m = 1;

D. m = –1.

Bài 4. Cho hàm số y = 4x² – x + 2m. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi m là

A. một số hữu tỉ dương;

B. một số hữu tỉ âm;

C. một số nguyên;

D. một số tự nhiên.

Bài 5. Giá trị lớn nhất của hàm số y = –x² – 5x + 10m là 5 khi:

A. Không tồn tại giá trị m;

B. m = 1;

C. m = –1;

D. $m=-\frac{1}{8}$.

Bài 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² – mx + 10 là 2 khi:

A. m = 0 ;

B. m = ±1;

C. $m=\pm 4\sqrt{2}$;

D. Không tồn tại giá trị m.

Bài 7. Giá trị lớn nhất của hàm số y = –x² – 2mx + 5 là 10 khi:

A. m = 0;

B. m = ±5;

C. $m=\pm \sqrt{5}$;

D. Không tồn tại giá trị m.

Bài 8. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x² – mx + m là 1 khi:

A. m = 0;

B. m = ±1;

C. $m=\pm \sqrt{2}$;

D. Không tồn tại giá trị m.

Bài 9. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = –x² – 2mx + 3 là 2022 khi m = ?

A. Không tồn tại giá trị m;

B. m = ±2;

C. $m=\pm \sqrt{2}$;

D. m là số thực tùy ý.

Bài 10. Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số y = –x² – 2x + 3 bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² – 5m + 2 ?

A. m = 4;

B. Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài;

C. m = –1;

D. m = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế

• Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt

• Xác định dấu của các giá trị lượng giác

• Tính giá trị và rút gọn biểu thức lượng giác

• Chứng minh đẳng thức lượng giác

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---