Thực hành 1 trang 17 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu - Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 17 Chuyên đề Toán 12: Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí C trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB một khoảng là 3km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy A, B đến nhà máy xử lí nước thải C gồm các đoạn thẳng AI, BI và IC, với I là vị trí nằm giữa M và C (Hình 4). Cần chọn vị trí điểm I như thế nào để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Quảng cáo

Lời giải:

Đặt IM = x (km, 0 ≤ x ≤ 3).

Suy ra IC = 3 – x (km).

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 2 km.

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

IA = IB = $\sqrt{x^{2} + 2^{2}} = \sqrt{x^{2} + 4}$ (km).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước thải là

d = IA + IB + IC = $2 \sqrt{x^{2} + 4} + 3 - x$ (km).

Xét hàm số y = $2 \sqrt{x^{2} + 4} + 3 - x$ với 0 ≤ x ≤ 3, ta có:

y' = $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 4}} - 1$ ;

y' = 0 ⇔ $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 4}} - 1 = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 4} = 2 x \Leftrightarrow x^{2} + 4 = 4 x^{2}$

⇔ 3x² = 4 ⇒ x = $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \in [0; 3]$ .

Ta có y(0) = 7; $y (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = 3 + 2 \sqrt{3}$ ; y(3) = $2 \sqrt{13}$ .

Do đó, $\min_{[0; 3]} y = y (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = 3 + 2 \sqrt{3} \approx 6,46$ .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của d khoảng 6,46 km, đạt được khi $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx 1,15$ (km).

Vậy cần chọn vị trí điểm I đặt cách vị trí M (trung điểm của AB) một khoảng xấp xỉ bằng 1,15 km thì tổng độ dài đường ống dẫn nước thải nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này xấp xỉ bằng 6,46 km.

Quảng cáo

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu hay, chi tiết khác: