Bài 1 trang 20 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 20 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m². Các kích thước x, y (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.

Quảng cáo

Lời giải:

Đường kính của nửa hình tròn là x (m, x > 0), suy ra bán kính nửa hình tròn là $\frac{x}{2}$ (m).

Diện tích phần mặt cắt hình chữ nhật là S₁ = xy (m²). (x, y > 0)

Diện tích phần mặt cắt nửa hình tròn là S₂ = $\frac{1}{2} π {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{1}{8} π x^{2}$ (m²).

Theo bài ra ta có S₁ + S₂ = 2 hay $x y + \frac{1}{8} π x^{2} = 2$ , suy ra $y = \frac{2}{x} - \frac{1}{8} π x$ .

Vì x, y > 0 nên $\frac{2}{x} - \frac{1}{8} π x > 0$ , từ đó suy ra $0 < x < \frac{4 \sqrt{π}}{π}$ .

Chu vi nửa hình tròn là C₁ = $\frac{1}{2}$ πx (m).

Chu vi mặt cắt ngang là

C = $\frac{1}{2} π x + x + 2 y = \frac{1}{2} π x + x + 2 (\frac{2}{x} - \frac{1}{8} π x) = \frac{1}{4} π x + x + \frac{4}{x}$ (m) với $0 < x < \frac{4 \sqrt{π}}{π}$ .

Xét hàm số f(x) = $\frac{1}{4} π x + x + \frac{4}{x}$ với $0 < x < \frac{4 \sqrt{π}}{π}$ .

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1}{4} π + 1 - \frac{4}{x^{2}}$ ;

f'(x) = 0 $\Leftrightarrow \frac{1}{4} π + 1 - \frac{4}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4 \sqrt{π + 4}}{π + 4} \in (0; \frac{4 \sqrt{π}}{π})$ .

Bảng biến thiên:

Bài 1 trang 20 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Từ bảng biến thiên, ta có $\min_{(0; \frac{4 \sqrt{π}}{π})} f (x) = 2 \sqrt{π + 4}$ , đạt được tại $x = \frac{4 \sqrt{π + 4}}{π + 4}$ .

Với $x = \frac{4 \sqrt{π + 4}}{π + 4}$ thì $y = \frac{2}{x} - \frac{1}{8} π x = \frac{2 \sqrt{π + 4}}{π + 4}$ .

Vậy $x = \frac{4 \sqrt{π + 4}}{π + 4}$ (m) và $y = \frac{2 \sqrt{π + 4}}{π + 4}$ (m) thì chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này bằng $2 \sqrt{π + 4}$ (m).