Toán lớp 9 Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

"Một lần đọc là một lần nhớ". Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng làm bài tập sách giáo khoa môn Toán lớp 9, loạt bài Giải bài tập Toán lớp 9 Tập 2 Đại số Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn hay nhất với lời giải được biên soạn công phu có kèm video giải chi tiết bám sát nội dung sgk Toán 9. Hi vọng với các bài giải bài tập Toán lớp 9 này, học sinh sẽ yêu thích và học tốt môn Toán 9 hơn.

Mục lục giải bài tập Toán lớp 9 Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 1 trang 5 - Video giải tại 4:37 :

a) Kiểm tra xem các cặp số (1; 1) và (0,5; 0) có là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 hay không ?

b) Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình 2x – y = 1.

Lời giải

a) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.1 – 1 = 1

Cặp số (0,5; 0) là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.0,5 – 0 = 1

b) Chọn x = 2 ta có: 2.2 – y = 1 ⇔ y = 3

Vậy cặp số (2; 3) là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 1 trang 5 - Video giải tại 7:42 : Nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 2x – y = 1.

Lời giải

Chọn x = x₀ ( x₀ ∈ R) ta có : 2x₀ - y = 1 ⇔ y = 2x₀ -1

Suy ra , mọi cặp số dạng (x₀; 2x₀ -1 )với x₀ tùy ý đều là nghiệm của phương trình 2x - y = 1

Phương trình 2x – y = 1 có vô số nghiệm

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 1 trang 5 - Video giải tại 9:40 : Điền vào bảng sau và viết ra sáu nghiệm của phương trình (2):

x	-1	0	0,5	1	2	2,5
y = 2x – 1

Lời giải

x	-1	0	0,5	1	2	2,5
y = 2x – 1	-3	-1	0	1	3	4

Vậy 6 nghiệm của phương trình là : (-1; -3), (0;-1), (0,5; 0), (1;1), (2; 3), (2,5; 4)

Bài 1 trang 7 SGK Toán 9 Tập 2 - Video giải tại 15:15) : Trong các cặp số (-2; 1), (0; 2), (-1; 0), (1, 5; 3) và (4; -3) cặp số nào là nghiệm của phương trình:

a) 5x + 4y = 8? ;     b) 3x + 5y = -3?

Lời giải

a) Xét cặp (-2; 1). Thay x = -2 ; y = 1 vào phương trình 5x + 4y = 8 ta được :

5x + 4y = 5.(-2) + 4.1 = -10 + 4 = -6 ≠ 8

⇒ cặp số (-2; 1) không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.

Xét cặp(0; 2). Thay x = 0 ; y = 2 vào phương trình 5x + 4y = 8 ta được

5x + 4y = 5.0 + 4.2 = 8

⇒ cặp số (0; 2) là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.

Xét cặp (-1; 0). Thay x = -1 ; y = 0 vào phương trình 5x - 4y = 8 ta được:

5x + 4y = 5.(-1) + 4.0 = -5 ≠ 8

⇒ cặp số (-1; 0) không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.

Xét cặp (1,5 ; 3). Thay x = 1,5 ; y = 3 vào phương trình 5x + 4y = 8 ta được

5x + 4y = 5.1,5 + 4.3 = 7,5 + 12 = 19,5 ≠ 8

⇒ (1,5; 3) không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.

Xét cặp (4;-3).Thay x = 4 ; y = -3 vào phương tình 5x + 4y = 8 ta được:

5x + 4y = 5.4 + 4.(-3) = 20 – 12 = 8

⇒ (4; -3) là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.

Vậy có hai cặp số (0; 2) và (4; -3) là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.

b) Xét cặp số (-2; 1).Thay x = -2 ; y = 1 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:

3x + 5y = 3.(-2) + 5.1 = -6 + 5 = -1 ≠ -3

⇒ (-2; 1) không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.

Xét cặp số (0; 2) . Thay x = 0 ; y = 2 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:

3x + 5y = 3.0 + 5.2 = 10 ≠ -3

⇒ (0; 2) không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.

Xét cặp (-1; 0).Thay x = -1 ; y = 0 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:

3x + 5y = 3.(-1) + 5.0 = -3

⇒ (-1; 0) là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3. .

Xét cặp (1,5; 3). Thay x = 1,5 ; y = 3 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:

3x + 5y = 3.1,5 + 5.3 = 4,5 + 15 = 19,5 ≠ -3

⇒ (1,5; 3) không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.

Xét cặp (4; -3). Thay x = 4 ; y = -3 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:

3x + 5y = 3.4 + 5.(-3) = 12 – 15 = -3

⇒(4; -3) là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.

Vậy có hai cặp số (-1; 0) và (4; -3) là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.

Bài 2 trang 7 SGK Toán 9 Tập 2 - Video giải tại 23:29) : Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:

a) 3x – y = 2;    b) x + 5y = 3;

c) 4x – 3y = -1;    d) x + 5y = 0 ;

e) 4x + 0y = -2 ;    f) 0x + 2y = 5.

Lời giải

a) 3x – y = 2 (1)

⇔ y = 3x – 2.

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là (x; 3x – 2) (x ∈ R).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) là đường thẳng y = 3x – 2 (Hình vẽ).

   + Tại x = thì y = 0 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm ( ; 0).

   + Tại x = 0 thì y = -2 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm (0; -2).

Vậy đường thẳng y = 3x – 2 là đường thẳng đi qua điểm ( ; 0) và (0; -2).

b) x + 5y = 3 (2)

⇔ x = 3 – 5y

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là (3 – 5y; y) (y ∈ R).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của (2) là đường thẳng x + 5y = 3.

   + Tại y = 0 thì x = 3 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm (3; 0).

   + Tại x = 0 thì ⇒ Đường thẳng đi qua điểm (0; ).

Vậy đường thẳng x + 5y = 3 là đường thẳng đi qua hai điểm (3; 0) và (0; ).

c) 4x – 3y = -1

⇔ 3y = 4x + 1

⇔

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là (x ∈ R).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình là đường thẳng 4x – 3y = -1.

   + Tại x = 0 thì y =

Đường thẳng đi qua điểm .

   + Tại y = 0 thì x =

Đường thẳng đi qua điểm .

Vậy đường thẳng 4x – 3y = -1 đi qua và .

d) x + 5y = 0

⇔ x = -5y.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là (-5y; y) (y ∈ R).

Đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng x + 5y = 0.

   + Tại x = 0 thì y = 0 ⇒ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

   + Tại x = 5 thì y = -1 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm (5; -1).

Vậy đường thẳng x + 5y = 0 đi qua gốc tọa độ và điểm (5; -1).

e) 4x + 0y = -2

⇔ 4x = -2 ⇔

Phương trình có nghiệm tổng quát (-0,5; y)(y ∈ R).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng x = -0,5 đi qua điểm (-0,5; 0) và song song với trục tung.

f) 0x + 2y = 5

Phương trình có nghiệm tổng quát (x; 2,5) (x ∈ R).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng y = 2,5 đi qua điểm (0; 2,5) và song song với trục hoành.

Bài 3 trang 7 SGK Toán 9 Tập 2 - Video giải tại 37:24) : Cho hai phương trình x + 2y = 4 và x – y = 1. Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của các phương trình nào.

- Vẽ đường thẳng x + 2y = 4.

   + Với x = 0 ⇒ y = 2. Đường thẳng đi qua điểm (0; 2).

   + Với y = 0 ⇒ x = 4. Đường thẳng đi qua điểm (4; 0).

Đường x + 2y = 4 là đường thẳng đi qua điểm (0; 2) và (4; 0).

- Vẽ đường thẳng x – y = 1

   + Với x = 0 ⇒ y = -1. Đường thẳng đi qua điểm (0; -1).

   + Với y = 0 ⇒ x = 1. Đường thẳng đi qua điểm (1; 0).

Đường x – y = 1 là đường thẳng đi qua điểm (0 ; -1) và (1 ; 0).

- Giao điểm của hai đường thẳng là điểm A có tọa độ là (2; 1).

- Ta có A(2; 1) cùng thuộc hai đường thẳng nên nó là nghiệm của cả hai phương trình đã cho.

.............................

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 8 - Video giải tại 0:46 : Kiểm tra rằng cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Lời giải

Thay x = 2 , y = -1 vào phương trình 2x + y = 3 ta được:

Vậy (2;-1) là nghiệm của phương trình 2x+y=3

- Thay x = 2, y = -1 vào phương trình x – 2y = 4 ta được:

Vậy (2;-1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 4

Vậy cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 9 - Video giải tại 3:34 : Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (…) trong câu sau:

Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (x_o; y_o) của điểm M là một … của phương trình ax + by = c.

Lời giải

Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (x_o; y_o) của điểm M là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 10 - Video giải tại 12:56 : Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm ? Vì sao ?

Lời giải

Hệ phương trình trong ví dụ 3 có vô số nghiệm vì tập nghiệm của hai phương trình trong hệ được biểu diễn bởi cùng một đường thẳng y = 2x – 3

Bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 - Video giải tại 15:25) : Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

Lời giải

a) Xét (d): y = -2x + 3 có a = -2; b = 3

(d’) : y = 3x – 1 có a’ = 3 ; b’ = -1.

Có a ≠ a’ ⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.

b)

Xét (d): có a = ; b = 3

(d’): có a’ = ; b’ = 1.

Có a = a’; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ phương trình vô nghiệm.

c) Ta có:

Xét (d): y = x có a = ; b = 0

(d’) : y = x có a’ = ; b’ = 0

Ta có: a ≠ a’ ⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.

d) Ta có:

Ta có: a = a’=3; b = b’ = -3

Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau

⇒ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 - Video giải tại 27:31) : Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

Lời giải

a) Xét hệ (I):

Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x – y = 1 và (d’): x – 2y = -1 trên mặt phẳng tọa độ.

+ Xét đường thẳng (d): 2x – y = 1 hay (d) : y = 2x – 1

   Chọn x = 0 ⇒ y = -1.

   Chọn y = 0 ⇒ x =

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; -1) và

+ Xét (d’) : x – 2y = -1 hay (d’):

   Chọn x = 0 ⇒ y =

   Chọn y = 0 ⇒ x = -1.

⇒ (d’) đi qua hai điểm và (-1; 0).

Dựa vào đồ thị thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 1).

Thử lại, thay x =1, y=1 vào các phương trình của hệ (I) ta được:

Vậy hệ phương trình (I) có một nghiệm là (1; 1)

b) Xét (II):

Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x + y = 4 và (d’): -x + y = 1 trên mặt phẳng tọa độ.

+ Xét (d): 2x + y = 4 hay (d): y = -2x + 4

   Chọn x = 0 ⇒ y = 4

   Chọn y = 0 ⇒ x = 2.

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).

+ Xét (d’) : -x + y = 1 hay (d’) : y = x + 1.

   Chọn x = 0 ⇒ y = 1

   Chọn y = 0 ⇒ x = -1.

⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 1) và (-1; 0).

Nhận thấy (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 2).

Thử lại , thay x =1, y=2 vào các phương trình của hệ (II) ta được:

Vậy hệ phương trình (II) có đúng một nghiệm là (1; 2).

Bài 6 trang 11-12 SGK Toán 9 Tập 2 - Video giải tại 34:37) : Đố:

Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau.

Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (Có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Lời giải

- Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng ∅.

- Bạn Phương nhận xét sai.

Ví dụ: Xét hai hệ và

Hệ có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (I) được biểu diễn bởi đường thẳng x – y = 0.

Hệ có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (II) được biểu diễn bởi đường thẳng x + y = 0.

Nhận thấy, tập nghiệm của hai hệ (I) và hệ (II) được biểu diễn bởi hai đường thẳng khác nhau nên hai hệ không tương đương.

.............................

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Loạt bài Video Giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết của chúng tôi được các Thầy / Cô giáo biên soạn bám sát chương trình sách giáo khoa Toán 9 Tập 1, Tập 2 Đại số & Hình học.

---