Sách bài tập Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc

Sách bài tập Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc

Bài 33 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và góc A = α không đổi.Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong cuả tam giác

Lời giải:

*Chứng minh thuận:

Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC

Bài 34 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dựng cung chứa góc 42° trên đoạn thẳng AB = 3cm

Lời giải:

- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm

- Vẽ tia Ax sao cho góc (BAx) = 42°

- Dựng đường thẳng d là trung trực của đoạn AB

- Dựng tia Ay sao cho Ay ⊥ Ax (tia Ay cắt đường trung trực d của AB tại O)

- Dựng cung tròn AmB tâm O bán kính OA

- Dựng điểm O’ đối xứng với O qua AB

- Dựng cung tròn (Am'B) tâm O’ bán kính O’A

Ta được hai cung chứa góc 42° trên đoạn thẳng AB = 3cm đối xứng nhau qua AB

Bài 35 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm,góc A = 45° và trung tuyến AM = 2,5cm

Lời giải:

- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm

- vẽ tia Bx sao cho góc (CBx) = 45°

- Dựng trung điểm M của BC

- Dựng đường trung trực của BC (qua M)

- Dựng tia vuông góc với Bx tại B ,cắt đường trung trực của BC tại O

- Dựng cung tròn BmC bán kính OB là cung chứa góc 45° vẽ trên đoạn BC

- Dựng đường tròn tâm M bán kính 2,5cm cắt cung BmC lần lượt tại A và A’

- Nối AB , AC (hoặc A’B , A’C) ta có: ΔABC (ΔA’BC) có BC = 3cm , góc A = 45°(hoặc góc (A' ) =45°) và trung tuyến AM =2,5cm

Bài 36 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD=CB

a. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

b. Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB.Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

Lời giải:

Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB cố định thì C chuyển động trên cung chứa góc 45° dựng trên đoạn thẳng AB.Khi đó dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB

- dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn .Khi C trùng với B thì D cũng trùng với B.vậy B là điểm của quỹ tích

- Dây AC nhỏ nhất có độ dài bằng 0 khi C trùng với A.Khi đó D trùng với B’ là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45° vẽ trên AB

*Chứng minh đảo:

Lấy điểm D’ bất kì trên cung BB' ,nối AD’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’.Nối BC’ ,B’D’

Quỹ tích điểm các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung BB’ nằm trên cung chứa góc 45° vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C (bị giới hạn bởi tiếp tuyến Ax).

b)

b. Hình b:

*chứng minh thuận

Trong đường tròn đường kính AB ta có:

Khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB cố định thì D chuyển động trên cung chứa góc 135° dựng trên đoạn thẳng AB cố định

-Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn thì C trùng với B nên E cũng trùng với B.Vậy B là điểm thuộc quỹ tích

- Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A.khi đó E trùng với A nên A là một điểm của quỹ tích

Vậy E chuyển động trên cung chứa góc 135° vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C

*chứng minh đảo:

Lấy điểm E’ bất kì trên cung chứa góc 135° , nối AE’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’.Nối BE’, BC’

Quỹ tích điểm các điểm E khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung chứa góc 135° vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C

Bài 37 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn .Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

Lời giải:

*Chứng minh thuận:

Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại P.

Vì O cố dịnh, đường tròn đường kính AB cố định nên P cố định.Nối PD

Ta có: OP // CH (cùng ⊥ AB)

Xét hai tam giác HCO và DOP ta có:

OD = CH (gt)

Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D thay đổi tạo với hai đầu đọan thẳng OP cố định một góc

Vậy D chuyển động trên đường tròn đường kính OP

*Chứng minh đảo

Lấy điểm D’ bất kì trên đường tròn đường kính OP ,nối OD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’.Nối PD’ và C’H’ ⊥ AB

Xét hai tam giác C’H’O và PD’O ta có:

Vậy ΔC’H’O = ΔPD’O (c.g.c) ⇒ C’H’ = OD’

Quỹ tích điểm các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP, với

Bài 38 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dựng hình vuông ABCD ,biết đỉnh A , điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD

Lời giải:

Phân tích: Vì ABCD là hình vuông nên:

Ta có, ba điểm A, M, N cố định nên bài toán quy về việc dựng đỉnh C. Đỉnh C là giao điểm của :

- Cung chứa góc 90° dựng trên đoạn thẳng MN

- Cung chứa góc 45° dựng trên đoạn thẳng AM

Cách dựng:

- Dựng cung chứa góc 90° trên đoạn MN

- Dựng cung chứa góc 45° trên đoạn AM

Hai cung cắt nhau tại C

- Nối CM ,CN

- kẻ AB ⊥ CM tại B , AD ⊥ CN tại D

Tứ giác ABCD là hình vuông cần dựng

Bài 1 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dựng một cung chứa góc 60⁰ trên đoạn thẳng AB cho trước.

Lời giải:

Cách dựng: − Dựng đoạn thẳng AB.

− Dựng tia Ax sao cho góc BAx = 60^o.

− Dựng đường thẳng d là trung trực của AB.

− Dựng tia Ay ⊥ Ax tại A.

− Tia Ay cắt đường thẳng d tại O.

− Dựng cung tròn tâm O bán kính OA.

− Dựng O' đối xứng với O qua AB.

− Dựng cung tròn tâm O’ bán kính O’A.

Ta có cung chứa góc 60° vẽ trên đoạn AB cho trước.

Bài 2 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó.

Một đường thẳng d thay đổi, luôn đi qua A, cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là B và C. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

Chứng minh thuận:

Đường tròn (O) cho trước, điểm A cố định nên OA có độ dài không đổi.

ΔOBC cân tại O (vì OB = OC bán kính)

IB = IC (gt) nên OI là đường trung tuyến vừa là đường cao

OI ⊥ BC

Góc OIA = 90^o

Đường thẳng d thay đổi nên B, C thay đổi thì I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn OA cố định góc góc OIA = 90^o. Vậy I chuyển động trên đường tròn đường kính OA.

Chứng minh đảo: Lấy điểm I’ bất kỳ trên đường tròn đường kính AO. Đường thẳng AI’ cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B’ và C’.

Ta chứng minh: I’B = I’C’.

Trong đường tròn đường kính AO ta có góc OI'A = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

OI'⊥ B'C'

I'B' = I'C' (đường kính vuông góc với dây cung)

Vậy quỹ tích các điểm I là trung điểm của dây BC của đường tròn tâm O khi BC quay xung quanh điểm A cố định là đường tròn đường kính AO.

Bài 3 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.

Lời giải:

Trong ΔABC ta lấy điểm M. Nối MA, MB, MC.

Ta cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.

Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN. Suy ra: CM = MN.

Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC. Khi đó, CA = CP

Xét ΔAMC và ΔPNC:

CM = CN (vì ΔMCN đều)

CA = CP (vì ΔAPC đều)

Suy ra: ΔAMC = ΔPNC (c.g.c)

⇒ PN = AM

MA + MB + MC = NP + MB + MN

Ta có ΔABC cho trước nên điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn nhất khi 4 điểm B, M, N, P thẳng hàng.

Xem thêm Video Giải sách bài tập Toán lớp 9 (SBT Toán 9) hay và chi tiết khác:

• Bài 7: Tứ giác nội tiếp
• Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
• Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn
• Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải bài tập Toán 9
• Chuyên đề Toán 9 (có đáp án - cực hay)
• Lý thuyết & 500 Bài tập Toán 9 (có đáp án)
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi Toán 9
• Đề thi vào 10 môn Toán

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---