Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.13 trang 54 sách bài tập Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ $\vec{A B}, \vec{B C}, \vec{C A}$ theo hai vectơ $\vec{A D}$ và $\vec{B E} .$

Quảng cáo

Lời giải:

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$

+) E là trung điểm của AC nên $\vec{A C} = 2 \vec{A E}$

Do đó $\vec{A C} = 2 \vec{A E} = 2 (\vec{A B} + \vec{B E})$

$\Rightarrow \vec{A B} + 2 (\vec{A B} + \vec{B E}) = 2 \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{A B} + 2 \vec{A B} + 2 \vec{B E} = 2 \vec{A D}$

$\Rightarrow 3 \vec{A B} + 2 \vec{B E} = 2 \vec{A D}$

$\Rightarrow 3 \vec{A B} = 2 \vec{A D} - 2 \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}$

+) Vì $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ nên $\vec{A C} = 2 \vec{A D} - \vec{A B}$

Mà $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{A C} = 2 \vec{A D} - (\frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E})$

$\Rightarrow \vec{A C} = 2 \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{A C} = \frac{4}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{C A} = - \frac{4}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}$

+) $\vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \vec{B C} = (\frac{4}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}) - (\frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E})$

$\Rightarrow \vec{B C} = \frac{4}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E} - \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{B E}$

Vậy $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E};$ $\vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{B E}$ và $\vec{C A} = - \frac{4}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E} .$