Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB},$ $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB},$ $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB},$ $2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}.$

Lời giải:

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

$\Rightarrow$ OC = AB

Mà AB² = OA² + OB² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ AB² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow OC=AB=a\sqrt{2}$

+) Có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$ (quy tắc hình bình hành)

+) Có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}$

+) Lấy điểm D sao cho $\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng và OD = 2OB.

Có: $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}$

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}$

Mà OE² = OD² + DE² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ OE² = (2OB)² + OA²

$\Rightarrow$ OE² = (2a)² + a² = 5a²

$\Rightarrow OE=a\sqrt{5}$

+) Lấy điểm G sao cho $\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OB}$

Khi đó: hai vectơ $\overrightarrow{OG}$, $\overrightarrow{OA}$ cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ $\overrightarrow{OH}$, $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng và OH = 3OB.

Có: $2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}$

$=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{HO}$$=\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OG}$

$=\overrightarrow{HG}$

Mà HG² = OG² + OH² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ HG² = (2OA)² + (3OB)²

$\Rightarrow$ HG² = (2a)² + (3a)²

$\Rightarrow$ HG² = 13a²

^{$\Rightarrow HG=a\sqrt{13}$}

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.13 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA ....

• Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O ....

• Bài 4.16 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN ....

• Bài 4.17 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA ....

• Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác....

• Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. ....

• Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC ....

• Bài 4.21 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---