Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}.$

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.$

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải:

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90°$

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

$\Rightarrow$ BH /// CD và CH // BD

$\Rightarrow$ BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow$ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

$\Rightarrow$ M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

$\Rightarrow$ OM // AH và (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{OM}$ có:

+ Cùng phương, cùng hướng

b) Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$

Mà $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$ (câu a)

$\Rightarrow \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AH}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.$

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.$

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}.$

Mà $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$ (câu b)

Suy ra $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$

Khi đó $\overrightarrow{OH}$ và $\overrightarrow{OG}$ cùng phương, cùng hướng

$\Rightarrow$ O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.13 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA ....

• Bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau ....

• Bài 4.16 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN ....

• Bài 4.17 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA ....

• Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác....

• Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. ....

• Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC ....

• Bài 4.21 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---