Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.17 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN // AC và $MN=\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EA}$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}\right)$ (quy tắc ba điểm)

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AA}}$ (quy tắc ba điểm)

$=\frac{1}{2}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

Do đó $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{0}$

+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{RG}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{N{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{Q{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{S{G}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{G^{\text{'}}N}+\overrightarrow{G^{\text{'}}Q}+\overrightarrow{G^{\text{'}}S}=\overrightarrow{0}$

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

+) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}N};$

+) $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}Q};$

+) $\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RG}+\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}S};$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{RG}+3.\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}N}+\overrightarrow{G^{\text{'}}Q}+\overrightarrow{G^{\text{'}}S}$

$=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{RG}\right)+3.\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\left(\overrightarrow{G^{\text{'}}N}+\overrightarrow{G^{\text{'}}Q}+\overrightarrow{G^{\text{'}}S}\right)$

$=\overrightarrow{0}+3.\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{0}$

$=3.\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}$

+) Lại có $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{0}$ (chứng minh trên)

Nên $3\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

Suy ra G và G' trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.13 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA ....

• Bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau ....

• Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O ....

• Bài 4.16 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN ....

• Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác....

• Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. ....

• Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC ....

• Bài 4.21 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng ....

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---