Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Lời giải:

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°$

Mà PQ // AB nên $\widehat{MQK}=\widehat{ABC}=60°,$

HK // AC nên $\widehat{MKQ}=\widehat{ACB}=60°$

Tam giác MQK có: $\widehat{MQK}=\widehat{MKQ}=60°$ nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

$\Rightarrow \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}=2\overrightarrow{MD}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) $\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}=2\overrightarrow{MF}$ (2)

+) $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{ME}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{ME}$

$\Rightarrow 2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}\right)=\left(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MI}\right)+\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}\right)+\left(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MP}\right)$

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MB}$

Tương tự ta có $\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MC};\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}$

Khi đó $2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}\right)=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}\right)$

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MO}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}.3\overrightarrow{MO}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Vậy $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.13 trang 54 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA ....

• Bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau ....

• Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O ....

• Bài 4.16 trang 54 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN ....

• Bài 4.17 trang 54 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA ....

• Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. ....

• Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC ....

• Bài 4.21 trang 55 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức

---