Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng MD+ME+MF=32MO.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên ABC^=ACB^=60°

Mà PQ // AB nên MQK^=ABC^=60°,

HK // AC nên MKQ^=ACB^=60°

Tam giác MQK có: MQK^=MKQ^=60° nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

MQ+MK=2MD (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) MH+MI=2MF (2)

+) MP+MJ=2ME (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MQ+MK+MH+MI+MP+MJ=2MD+2MF+2ME

2MD+MF+ME=MQ+MI+MK+MJ+MH+MP

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

MI+MQ=MB

Tương tự ta có MK+MJ=MC;MH+MP=MA

Khi đó 2MD+MF+ME=MB+MC+MA

MD+MF+ME=12MB+MC+MA

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên MB+MC+MA=3MO

MD+MF+ME=12.3MO=32MO.

Vậy MD+ME+MF=32MO.

Quảng cáo


Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác
Tài liệu giáo viên