Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy + yz + xz = 8

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète - Cánh diều

Bài 31* trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy +yz + xz = 8.

Chứng tỏ rằng: $1\le \mathrm{x}\le \frac{7}{3};1\le \mathrm{y}\le \frac{7}{3};1\le \mathrm{z}\le \frac{7}{3}.$

Lời giải:

Đặt S = y + z và P = yz.

Theo bài, x + y + z = 5 nên ta có x + S = 5, suy ra y + z = S = 5–x.

Theo bài, xy + yz + xz = 8 nên xy + xz + P = 8

Suy ra yz = P = 8 – x(y + z) = 8 – x(5 – x).

Từ đó y, z là nghiệm của phương trình:

t² – (5 –x)t + 8 – x(5 – x) = 0 với S² – 4P ≥ 0. (*)

Xét điều kiện (*):

S² – 4P ≥ 0

(5 – x)² – 4[8 – x(5 – x)] ≥ 0

25 – 10x + x² – 32 + 4x(5 – x) ≥ 0

25 – 10x + x² – 32 + 20x – 4x² ≥ 0

–3x² + 10x – 7 ≥ 0

3x²–10x+7 ≤ 0.

Ta có: 3x² – 10x + 7 = (3x² – 3x) – (7x – 7)

        = 3x(x – 1) – 7(x – 1) = (x – 1)(3x – 7)

        $=3\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-\frac{7}{3}\right).$

Với mọi x ta luôn có: $\mathrm{x}-1>\left(\mathrm{x}-1\right)-\frac{4}{3}$  hay $\mathrm{x}-1>\mathrm{x}-\frac{7}{3}.$

Do 3x² – 10x + 7 ≤ 0 và $\mathrm{x}-1>\mathrm{x}-\frac{7}{3}$ nên suy ra:

$\mathrm{x}-\frac{7}{3}\le 0$ và x – 1 ≥ 0 hay $1\le \mathrm{x}\le \frac{7}{3}.$

Tương tự ta chứng minh được: $1\le \mathrm{y}\le \frac{7}{3};1\le \mathrm{z}\le \frac{7}{3}.$

Vậy $1\le \mathrm{x}\le \frac{7}{3};1\le \mathrm{y}\le \frac{7}{3};1\le \mathrm{z}\le \frac{7}{3}.$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète hay khác:

• Bài 24 trang 70 SBT Toán 9 Tập 2: Không tính ∆, giải các phương trình: a) $7x^2+3\sqrt{3}x-7+3\sqrt{3}=0;$ ....

• Bài 25 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình $x^2+x-2+\sqrt{2}=0.$ a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm ....

• Bài 26 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: a) Cho phương trình –x² + 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm ....

• Bài 27 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² + 2(2m + 1)x – 4m² – 1 = 0. a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn ....

• Bài 28 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x²+2(k+1)x+k²+2k= 0. a) Tìm các giá trị k để phương trình ....

• Bài 29 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm các số x, y với x<y thoả mãn: a) x + y = 16 và xy = 15 ....

• Bài 30 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x²+(2m–1)x–m= 0. a) Tìm các giá trị m để phương trình ....

• Bài 32 trang 72 SBT Toán 9 Tập 2: Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung ....

• Bài 33 trang 72 SBT Toán 9 Tập 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp rưỡi chiều rộng ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 9 Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

• SBT Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 8

• SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Cánh diều
• Giải SBT Toán 9 Cánh diều
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---