Cho tam giác vuông ABC góc A = 90 độ có góc C = 30 độ và AB = 3 cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D

Giải sách bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 5 - Kết nối tri thức

Bài 5.30 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC $\left(\widehat{A}=90°\right)$ có $\widehat{C}=30°$ và AB = 3 cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.

a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.

b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.

c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).

Lời giải:

a) Kẻ đường vuông góc từ D xuống BC cắt BC tại E.

Do BD là đường phân giác của hóc ABC nên DA = DE.

Vậy E nằm trên đường tròn (D; DA) hay (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC. (đpcm)

b) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

$\widehat{ABC}=90°-\widehat{ACB}=90°-30°=60°$

DB là phân giác của góc ABC nên ta có:

$\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$

Xét tam giác BDC ta có:

$\widehat{BDC}=180°-\widehat{DBC}-\widehat{DCB}=180°-30°-30°=120°$

Xét ta giác ABD vuông tại A ta có:

$AD=AB\tan 30°=3.\tan 30°=\sqrt{3}$ (cm)

Độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là:

$\frac{n}{180}\pi R=\frac{120}{180}\pi \cdot \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$ (cm)

Diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung đó là:

$\frac{n}{360}\pi R^2=\frac{120}{360}\pi \cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2=\pi$ (cm²)

Độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là:

$\frac{n}{180}\pi R=\frac{120}{180}\pi \cdot \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$ (cm)

Vậy độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là $\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$ cm và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung đó là π cm².

c) Do $\widehat{DBC}=\widehat{DCB}=30°$ nên tam giác DBC cân tại D, suy ra DC = DB.

Xét tam giác vuông ABD, ta có:

$BD=\frac{AB}{\cos \widehat{ABD}}=\frac{2}{\cos 30°}=2\sqrt{3}$ (cm), suy ra $DC=DB=2\sqrt{3}$cm).

Ta có đường tròn (D; DA) có bán kính DA = $\sqrt{3}$cm, đường tròn (D; DC) có bán kính $DC=2\sqrt{3}$cm.

Do đó diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn này là:

$\left[{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2\right]\pi =9\pi$(cm²).

Vậy diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC) là 9π cm².

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

• Bài 1 trang 69 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn $\left(O;\sqrt{5}\right)$, hai điểm $A\left(-\sqrt{3};1\right)$ và B(–1; 2). Khi đó xảy ra: ...

• Bài 2 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng xy cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B (H.5.10). Khi đó, các điểm thuộc đường thẳng xy và nằm trong đường tròn (O) là: ...

• Bài 3 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho Hình 5.11, trong đó tất cả các cung AB, BC, CD, DE, EG và GA đều có số đo bằng 60°. Khi đó: ...

• Bài 4 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Độ dài L (đơn vị cm) của cung tròn và diện tích S của hình quạt tròn (đơn vị cm2) có cùng bán kính 9 cm và cùng ứng với cung 280° là: ...

• Bài 5 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Biết rằng M nằm cách Ox một khoảng bằng 3 cm và cách Oy một khoảng bằng 2 cm. ...

• Bài 6 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai điểm A và B sao cho AB = 7 cm và đường tròn (B; 4 cm). Khi đó: ...

• Bài 5.27 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB < AC và đường cao AH (H.5.12). ...

• Bài 5.28 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Chứng minh rằng đường trung trực d của AB cũng là đường trung trực của CD ...

• Bài 5.29 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD ...

• Bài 5.31 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). ...

• Bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E ...

• Bài 5.33 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a // b. ...

• Bài 5.34 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm $B\in \left(O\right)$ và $C\in \left(O\right)$ ...

• Bài 5.35 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B. ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 18: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

• SBT Toán 9 Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

• SBT Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

• SBT Toán 9 Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Loạt bài Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung sgk Toán 9 Tập 1 & Tập 2 (NXB Giáo dục).

---