Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a // b

Giải sách bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 5 - Kết nối tri thức

Bài 5.33 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a // b. Gọi C là một điểm tuỳ ý thuộc (O), khác A và B. Tiếp tuyến c của (O) tại C cắt a và b lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh AB là một đường kính của (O).

b) Gọi D, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với C, M và N qua tâm O. Chứng minh rằng $D\in \left(O\right), P\in b$ và $Q\in a$

c) Chứng minh rằng PQ tiếp xúc với (O) tại D.

d) Chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi.

Lời giải:

a) MA, MN và BN là các tiếp tuyến của (O) nên

$\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=\widehat{OBN}=\widehat{OCN}=90°$

+ Xét tứ giác ABMN có $\widehat{OAM}=\widehat{OBN}=90°$

Suy ra $\widehat{AMN}+\widehat{BNM}=180°$. (1)

+ Xét tứ giác AOCM có $\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=90°$.

Suy ra $\widehat{AOC}+\widehat{AMC}=180°$. (2)

+ Xét tứ giác OBNC có $\widehat{OBN}=\widehat{OCN}=90°$.

Suy ra $\widehat{COB}+\widehat{CNB}=180°$. (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra $\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180°$ hay A, O, B thẳng hàng.

Mà A và O nằm trên (O) nên AB là đường kính của (O). (đpcm)

b) Vì $C\in \left(O\right)$ và D đối xứng với C qua O nên $D\in \left(O\right)$. (đpcm)

Xét tứ giác AMBP có:

OA = OB (bán kính của (O))

OM = OP (P đối xứng với M qua O)

Suy ra hai đường chéo của tứ giác AMBP cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó AMBP là hình bình hành, vì vậy BP // AM hay BP // a.

Mà b // a nên BP trùng với b hay $P\in b$. (đpcm)

Xét tứ giác AQBN có:

OA = OB (bán kính của (O))

ON = OQ (Q đối xứng với N qua O)

Suy ra hai đường chéo của tứ giác AQBN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó AQBN là hình bình hành, vì vậy AQ // BN hay AQ // b.

Mà b // a nên AQ trùng với a hay $Q\in a$. (đpcm)

c) Xét ∆COM và ∆DOP có:

OM = OP (M và PO đối xứng qua O)

OC = OD (C và D đối xứng qua O)

$\widehat{MOC}=\widehat{POD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆COM = ∆DOP (c.g.c), suy ra $\widehat{PDO}=\widehat{MCO}=90°$

Tương tự, ta có ∆CON = ∆DOQ (c.g.c), suy ra $\widehat{QDO}=\widehat{NCO}=90°$

Do đó $\widehat{PDO}+\widehat{QDO}=90°+90°=180°$ hay P, D, Q thẳng hàng.

Mà $\widehat{PDO}=90°$ nên PQ là tiếp tuyến của (O) tại D.

d) Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (do M và P, N và Q đối xứng với nhau qua O) nên MNPQ là hình bình hành.

Hai tiếp tuyến AM và CM của (O) cắt nhau tại M nên $\widehat{AOM}=\widehat{COM}$

Hai tiếp tuyến BN và CN của (O) cắt nhau tại N nên $\widehat{CON}=\widehat{BON}$

Từ đó ta có:

$\widehat{AOM}+\widehat{COM}+\widehat{CON}+\widehat{BON}=180°$

$2\left(\widehat{COM}+\widehat{CON}\right)=180°$

$\widehat{COM}+\widehat{CON}=90°$

Suy ra MP ⊥ NQ. Mà MNPQ là hình bình hành nên hai đường chéo của hình bình hành MNPQ vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó MNPQ là hình thoi. (đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

• Bài 1 trang 69 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn $\left(O;\sqrt{5}\right)$, hai điểm $A\left(-\sqrt{3};1\right)$ và B(–1; 2). Khi đó xảy ra: ...

• Bài 2 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng xy cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B (H.5.10). Khi đó, các điểm thuộc đường thẳng xy và nằm trong đường tròn (O) là: ...

• Bài 3 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho Hình 5.11, trong đó tất cả các cung AB, BC, CD, DE, EG và GA đều có số đo bằng 60°. Khi đó: ...

• Bài 4 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Độ dài L (đơn vị cm) của cung tròn và diện tích S của hình quạt tròn (đơn vị cm2) có cùng bán kính 9 cm và cùng ứng với cung 280° là: ...

• Bài 5 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Biết rằng M nằm cách Ox một khoảng bằng 3 cm và cách Oy một khoảng bằng 2 cm. ...

• Bài 6 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai điểm A và B sao cho AB = 7 cm và đường tròn (B; 4 cm). Khi đó: ...

• Bài 5.27 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB < AC và đường cao AH (H.5.12). ...

• Bài 5.28 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Chứng minh rằng đường trung trực d của AB cũng là đường trung trực của CD ...

• Bài 5.29 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD ...

• Bài 5.30 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC $\left(\widehat{A}=90°\right)$ có $\widehat{C}=30°$ và AB = 3 cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D. ...

• Bài 5.31 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). ...

• Bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E ...

• Bài 5.34 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm $B\in \left(O\right)$ và $C\in \left(O\right)$ ...

• Bài 5.35 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B. ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 18: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

• SBT Toán 9 Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

• SBT Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

• SBT Toán 9 Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---