Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a // b

Giải sách bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 5 - Kết nối tri thức

Bài 5.33 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a // b. Gọi C là một điểm tuỳ ý thuộc (O), khác A và B. Tiếp tuyến c của (O) tại C cắt a và b lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh AB là một đường kính của (O).

b) Gọi D, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với C, M và N qua tâm O. Chứng minh rằng $D \in (O), P \in b$ và $Q \in a$

c) Chứng minh rằng PQ tiếp xúc với (O) tại D.

d) Chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a // b

a) MA, MN và BN là các tiếp tuyến của (O) nên

$\hat{O A M} = \hat{O C M} = \hat{O B N} = \hat{O C N} = 90 °$

+ Xét tứ giác ABMN có $\hat{O A M} = \hat{O B N} = 90 °$

Suy ra $\hat{A M N} + \hat{B N M} = 180 °$ . (1)

+ Xét tứ giác AOCM có $\hat{O A M} = \hat{O C M} = 90 °$ .

Suy ra $\hat{A O C} + \hat{A M C} = 180 °$ . (2)

+ Xét tứ giác OBNC có $\hat{O B N} = \hat{O C N} = 90 °$ .

Suy ra $\hat{C O B} + \hat{C N B} = 180 °$ . (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra $\hat{A O C} + \hat{C O B} = 180 °$ hay A, O, B thẳng hàng.

Mà A và O nằm trên (O) nên AB là đường kính của (O). (đpcm)

b) Vì $C \in (O)$ và D đối xứng với C qua O nên $D \in (O)$ . (đpcm)

Xét tứ giác AMBP có:

OA = OB (bán kính của (O))

OM = OP (P đối xứng với M qua O)

Suy ra hai đường chéo của tứ giác AMBP cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó AMBP là hình bình hành, vì vậy BP // AM hay BP // a.

Mà b // a nên BP trùng với b hay $P \in b$ . (đpcm)

Xét tứ giác AQBN có:

OA = OB (bán kính của (O))

ON = OQ (Q đối xứng với N qua O)

Suy ra hai đường chéo của tứ giác AQBN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó AQBN là hình bình hành, vì vậy AQ // BN hay AQ // b.

Mà b // a nên AQ trùng với a hay $Q \in a$ . (đpcm)

c) Xét ∆COM và ∆DOP có:

OM = OP (M và PO đối xứng qua O)

OC = OD (C và D đối xứng qua O)

$\hat{M O C} = \hat{P O D}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆COM = ∆DOP (c.g.c), suy ra $\hat{P D O} = \hat{M C O} = 90 °$

Tương tự, ta có ∆CON = ∆DOQ (c.g.c), suy ra $\hat{Q D O} = \hat{N C O} = 90 °$

Do đó $\hat{P D O} + \hat{Q D O} = 90 ° + 90 ° = 180 °$ hay P, D, Q thẳng hàng.

Mà $\hat{P D O} = 90 °$ nên PQ là tiếp tuyến của (O) tại D.

d) Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (do M và P, N và Q đối xứng với nhau qua O) nên MNPQ là hình bình hành.

Hai tiếp tuyến AM và CM của (O) cắt nhau tại M nên $\hat{A O M} = \hat{C O M}$

Hai tiếp tuyến BN và CN của (O) cắt nhau tại N nên $\hat{C O N} = \hat{B O N}$

Từ đó ta có:

$\hat{A O M} + \hat{C O M} + \hat{C O N} + \hat{B O N} = 180 °$