Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

Giải sách bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 5 - Kết nối tri thức

Bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;

b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Lời giải:

a) Vì BC ⊥ AH tại H nên BC là tiếp tuyến với đường tròn (A; AH) tại H.

Mà BD là tiếp tuyến của (A; AH) nên AB là đường phân giác của góc DAH, hay $\widehat{DAH}=2\widehat{BAH}$

Tương tự với BC và CE, ta có $\widehat{HAE}=2\widehat{HAC}$

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}=90°$

Do đó: $\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}$

$=2\left(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}\right)=2.90°=180°$

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Mà D và E đều nằm trên (A; AH) nên DE là đường kính của (A; AH) hay D và E đối xứng với nhau qua A. (đpcm)

b) Gọi O là trung điểm của BC.

Xét tam giác vuông ABC, ta thấy AO là đường trung tuyến nên OA = OB = OC.

Do đó đường tròn đường kính BC là đường tròn (O; OA).

Xét ∆ABC và ∆HBA có:

$\widehat{ABC}=\widehat{HBA}$ (góc chung)

$\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90°$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g)

Tương tự, ta có ∆ABC ᔕ ∆HAC, suy ra ∆HBA ᔕ ∆HAC.

Xét ∆HAC và ∆EAC có:

Chung cạnh AC

$\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90°$

AH = AE (bán kính đường tròn (A; AH))

Suy ra ∆HAC = ∆EAC (c.g.c).

Do đó ∆HBA ᔕ ∆EAC, suy ra $\widehat{HBA}=\widehat{EAC}$ hay ${\widehat{B}}_1={\widehat{A}}_2$. (1)

Do OA = OC nên tam giác OAC cân tại A, suy ra $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}$ hay ${\widehat{C}}_1={\widehat{A}}_1$. (2)

Mà tam giác ABC vuông tại A nên ${\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2={\widehat{B}}_1+{\widehat{C}}_1=90°$

Suy ra $\widehat{OAE}=90°$ hay OA ⊥ AE.

Do đó DE tiếp xúc với đường tròn (O; OA) tại A. (đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

• Bài 1 trang 69 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn $\left(O;\sqrt{5}\right)$, hai điểm $A\left(-\sqrt{3};1\right)$ và B(–1; 2). Khi đó xảy ra: ...

• Bài 2 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng xy cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B (H.5.10). Khi đó, các điểm thuộc đường thẳng xy và nằm trong đường tròn (O) là: ...

• Bài 3 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho Hình 5.11, trong đó tất cả các cung AB, BC, CD, DE, EG và GA đều có số đo bằng 60°. Khi đó: ...

• Bài 4 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Độ dài L (đơn vị cm) của cung tròn và diện tích S của hình quạt tròn (đơn vị cm2) có cùng bán kính 9 cm và cùng ứng với cung 280° là: ...

• Bài 5 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Biết rằng M nằm cách Ox một khoảng bằng 3 cm và cách Oy một khoảng bằng 2 cm. ...

• Bài 6 trang 70 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai điểm A và B sao cho AB = 7 cm và đường tròn (B; 4 cm). Khi đó: ...

• Bài 5.27 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB < AC và đường cao AH (H.5.12). ...

• Bài 5.28 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Chứng minh rằng đường trung trực d của AB cũng là đường trung trực của CD ...

• Bài 5.29 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD ...

• Bài 5.30 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC $\left(\widehat{A}=90°\right)$ có $\widehat{C}=30°$ và AB = 3 cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D. ...

• Bài 5.31 trang 71 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). ...

• Bài 5.33 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a // b. ...

• Bài 5.34 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm $B\in \left(O\right)$ và $C\in \left(O\right)$ ...

• Bài 5.35 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B. ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 18: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

• SBT Toán 9 Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

• SBT Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

• SBT Toán 9 Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---